Questão 3. Resolva os sistemas abaixo.
\mathbf{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}-6 & 2 \\\\ -3 & 1\end{array}\right) \mathbf{X}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear de EDOs
\mathbf X' = A\,\mathbf X,\quad A = \begin{pmatrix}-6 & 2 \\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é encontrar os autovalores e autovetores de A para montar a solução via modos próprios.]

Passo 2

Para achar os autovalores \lambda, resolvemos
\det(A - \lambda I) = 0,
onde
A - \lambda I = \begin{pmatrix}-6-\lambda & 2 \\[4pt] -3 & 1-\lambda\end{pmatrix}.
Calculando o determinante,
\det(A - \lambda I) = (-6-\lambda)(1-\lambda) - (2\cdot -3) = \lambda^2 + 5\lambda.
Logo
\lambda(\lambda+5)=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda_1 = 0,\\ \lambda_2 = -5.]

Passo 3

Agora achamos um autovetor para cada \lambda.
Para \lambda_1=0, resolvemos A\mathbf v=0, isto é,
\begin{pmatrix}-6 & 2 \\[2pt] -3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; -6v_1 + 2v_2 = 0 \;\Longrightarrow\; v_2 = 3v_1.
Escolhendo v_1=1, um autovetor é
\displaystyle \mathbf v^{(1)} = \begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=-5, resolvemos (A + 5I)\mathbf v=0, isto é,
\begin{pmatrix}-1 & 2 \\[2pt] -3 & 6\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; -v_1 + 2v_2 = 0 \;\Longrightarrow\; v_1 = 2v_2.
Escolhendo v_2=1, um autovetor é
\displaystyle \mathbf v^{(2)} = \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear dos modos próprios:
\mathbf X(t) = C_1\,e^{\lambda_1 t}\,\mathbf v^{(1)} + C_2\,e^{\lambda_2 t}\,\mathbf v^{(2)} = C_1 \begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix} + C_2\,e^{-5t}\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix},
onde C_1 e C_2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

\boxed{ \mathbf X(t) = C_1\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix} + C_2\,e^{-5t}\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} }.

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