Questão 3: Considere a região delimitada pelas curvas y=x^{3 / 2}, x=1, x=4 e y=0. Encontre o valor de a tal que a reta x=a divida essa região em duas regiões de áreas iguais.

Passo 1

O enunciado pede o valor de a tal que a reta x=a divida em duas partes de áreas iguais a região limitada por y=x^{3/2}, x=1, x=4 e y=0. O conteúdo usado aqui é cálculo de área sob curva via integrais.

Passo 2

Calculamos primeiro a área total A da região usando
A = \int_{1}^{4} x^{3/2}\,dx.
Como
\int x^{3/2}\,dx = \frac{2}{5}\,x^{5/2},
segue que
A = \left[\frac{2}{5}x^{5/2}\right]_{1}^{4} = \frac{2}{5}\bigl(4^{5/2}-1^{5/2}\bigr) = \frac{2}{5}(32-1) = \frac{62}{5}.
Logo, a metade dessa área é
\frac{1}{2}A = \frac{31}{5}.

Passo 3

Para que a reta x=a divida a região em duas áreas iguais, a área de x=1 a x=a deve valer \tfrac{31}{5}. Assim,
\int_{1}^{a} x^{3/2}\,dx = \frac{31}{5}.
Usando a primitiva,
\frac{2}{5}\bigl(a^{5/2}-1\bigr) = \frac{31}{5} \quad\Longrightarrow\quad 2\bigl(a^{5/2}-1\bigr)=31 \quad\Longrightarrow\quad a^{5/2}=\frac{33}{2}.

Passo 4

Isolando a, elevamos ambos os lados a 2/5:
a = \Bigl(\frac{33}{2}\Bigr)^{2/5}.

Resposta

a = \Bigl(\tfrac{33}{2}\Bigr)^{2/5}.

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