Questão 4: O interior de um tanque tem o formato do sólido obtido pela rotação, ao redor do eixo dos
, da região delimitada pelas curvas
,
e
, sendo as unidades dadas em metros. O eixo dos
encontra-se na vertical. Até que altura o tanque deve ser preenchido para que a metade de seu volume esteja ocupada?
Passo 1
O enunciado diz que o tanque é o sólido de revolução ao redor do eixo
da região plana em que
isto é, limitada por
,
e
. Vamos primeiro achar o volume total do sólido (conteúdo: método das cascas cilíndricas) e depois determinar a altura
tal que o volume até
seja metade do total (conteúdo: método dos discos).
Passo 2
Usando cascas cilíndricas, para
de
a
cada casca tem raio
, altura
e espessura
. Logo
Fazendo a integral:
Assim
Passo 3
Para achar a altura
Como queremos
, dividimos em duas partes:
Passo 4
Calculando cada parte:
Logo
Impondo
e simplificando:
Como
, escolhemos
Resposta
A altura em que o tanque contém metade do seu volume é