Questão 4: O interior de um tanque tem o formato do sólido obtido pela rotação, ao redor do eixo dos y, da região delimitada pelas curvas x=0, y=x e y=2-x^{2}, sendo as unidades dadas em metros. O eixo dos y encontra-se na vertical. Até que altura o tanque deve ser preenchido para que a metade de seu volume esteja ocupada?

Passo 1

O enunciado diz que o tanque é o sólido de revolução ao redor do eixo y da região plana em que
0 \le x \le 1,\quad x \le y \le 2 - x^2,
isto é, limitada por x=0, y=x e y=2 - x^2. Vamos primeiro achar o volume total do sólido (conteúdo: método das cascas cilíndricas) e depois determinar a altura h tal que o volume até y=h seja metade do total (conteúdo: método dos discos).

Passo 2

Usando cascas cilíndricas, para x de 0 a 1 cada casca tem raio x, altura
(2 - x^2) - x = 2 - x - x^2,
e espessura \mathrm{d}x. Logo
V_{\mathrm{total}} = \int_{0}^{1} 2\pi\,x\bigl(2 - x - x^2\bigr)\,\mathrm{d}x =2\pi\int_{0}^{1}\bigl(2x - x^2 - x^3\bigr)\,\mathrm{d}x.
Fazendo a integral:
\int_{0}^{1}(2x - x^2 - x^3)\,\mathrm{d}x =\Bigl[x^2 - \tfrac{x^3}{3} - \tfrac{x^4}{4}\Bigr]_{0}^{1} =1 - \tfrac13 - \tfrac14 =\tfrac{5}{12}.
Assim
V_{\mathrm{total}} =2\pi\cdot\tfrac{5}{12} =\tfrac{5\pi}{6}.

Passo 3

Para achar a altura h\) que corresponde à metade do volume, usamos discos em função de \(y\). A seção transversal a uma altura \(y\) é um disco de raio \[x_{\max}(y) =\begin{cases} y, & 0\le y\le1,\\\ \sqrt{2 - y}, & 1\le y\le2. \end{cases}
Como queremos V(0\!\le y\le h)=\tfrac12V_{\mathrm{total}}=\tfrac{5\pi}{12}\] e veremos que \(h>1, dividimos em duas partes:
V(h) =\int_{0}^{1}\pi\,y^2\,\mathrm{d}y +\int_{1}^{h}\pi\,(2 - y)\,\mathrm{d}y.

Passo 4

Calculando cada parte:
\int_{0}^{1}\pi\,y^2\,\mathrm{d}y =\pi\Bigl[\tfrac{y^3}{3}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac{\pi}{3},
\int_{1}^{h}\pi\,(2 - y)\,\mathrm{d}y =\pi\Bigl[2y - \tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{1}^{h} =\pi\Bigl(2h - \tfrac{h^2}{2} - \bigl(2 - \tfrac12\bigr)\Bigr) =\pi\Bigl(2h - \tfrac{h^2}{2} - \tfrac{3}{2}\Bigr).
Logo
V(h) =\tfrac{\pi}{3} +\pi\Bigl(2h - \tfrac{h^2}{2} - \tfrac{3}{2}\Bigr) =\pi\,\frac{12h - 3h^2 -7}{6}.
Impondo V(h)=\tfrac{5\pi}{12} e simplificando:
\frac{12h - 3h^2 -7}{6} =\frac{5}{12} \quad\Longrightarrow\quad 6h^2 -24h +19=0 \quad\Longrightarrow\quad h=\frac{12\pm\sqrt{120}}{6}.
Como h\le2, escolhemos
h=\frac{12 - \sqrt{120}}{6} =\frac{12 - 2\sqrt{30}}{6} =\frac{12 - \sqrt{30}}{6}.

Resposta

A altura em que o tanque contém metade do seu volume é
h = \frac{12 - \sqrt{30}}{6}\,\text{m}\approx1,087\text{ m}.

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