Questão 1: Resolva os sistemas de equações lineares usando a técnica de escalonamento e quando possivel pela Regra de Cramer. \left\{\begin{aligned} x-6 y & =5 \\\ y-4 z+w & =0 \\\\ -x+6 y+z+5 w & =3 \\\\ -y+5 z+4 w & =0\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear com quatro incógnitas x,y,z,w\) e pede para resolver usando escalonamento (e, quando possível, a Regra de Cramer):
\[\begin{cases} x-6y=5,\\[4pt] y-4z+w=0,\\[4pt] -x+6y+z+5w=3,\\[4pt] -y+5z+4w=0. \end{cases}
Informações relevantes que temos: são quatro equações lineares em quatro incógnitas; podemos escrever o sistema na forma matricial A\mathbf{v}=\mathbf{b}\] com \(\mathbf{v}=(x,y,z,w)^T. A resolução começará por escalonar o sistema (eliminação de Gauss) e, depois, vamos verificar se a Regra de Cramer é aplicável.]
Passo 2
Construção da matriz aumentada (coeficientes e termo independente). Ordenando as incógnitas como x,y,z,w, a matriz aumentada é
Observe as duas últimas linhas agora. Elas representam, respectivamente, as equações (lendo as linhas como equações):
\text{linha 3:}\quad z+5w=8,
\text{linha 4:}\quad z+5w=0.
Essas duas equações têm o mesmo lado esquerdo (z+5w) mas termos independentes diferentes (8 e 0). Isso é uma contradição: não existe par (z,w) que satisfaça simultaneamente z+5w=8 e z+5w=0.
Passo 7
Conclusão a partir da contradição: o sistema é inconsistente, isto é, não tem solução. Em linguagem linear, isso aparece porque ao escalonar chegamos a duas linhas iguais na parte dos coeficientes mas com termos independentes diferentes — um sinal claro de incompatibilidade.
Passo 8
Comentário sobre a Regra de Cramer: a Regra de Cramer exige que a matriz de coeficientes A tenha determinante não nulo (\det(A)\neq 0). Vamos checar rapidamente o determinante usando as mesmas operações que fizemos (somar linhas não altera o determinante). Depois das duas operações R_3\leftarrow R_3+R_1 e R_4\leftarrow R_4+R_2 obtivemos a matriz de coeficientes transformada
Nessa matriz as duas últimas linhas são idênticas, portanto o determinante vale zero. Logo \det(A)=0 e a Regra de Cramer não é aplicável. (Observação: \det(A)=0 permite que o sistema tenha infinitas soluções ou nenhuma; no nosso caso, por causa da contradição encontrada, o sistema não tem solução.)]