Questão 1: Resolva os sistemas de equações lineares usando a técnica de escalonamento e quando possivel pela Regra de Cramer.
\left\{\begin{aligned} x-6 y & =5 \\\ y-4 z+w & =0 \\\\ -x+6 y+z+5 w & =3 \\\\ -y+5 z+4 w & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com quatro incógnitas x,y,z,w\) e pede para resolver usando escalonamento (e, quando possível, a Regra de Cramer): \[\begin{cases} x-6y=5,\\[4pt] y-4z+w=0,\\[4pt] -x+6y+z+5w=3,\\[4pt] -y+5z+4w=0. \end{cases}
Informações relevantes que temos: são quatro equações lineares em quatro incógnitas; podemos escrever o sistema na forma matricial A\mathbf{v}=\mathbf{b}\] com \(\mathbf{v}=(x,y,z,w)^T. A resolução começará por escalonar o sistema (eliminação de Gauss) e, depois, vamos verificar se a Regra de Cramer é aplicável.]

Passo 2

Construção da matriz aumentada (coeficientes e termo independente). Ordenando as incógnitas como x,y,z,w, a matriz aumentada é
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -6 & 0 & 0 & 5\\[4pt] 0 & 1 & -4 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 6 & 1 & 5 & 3\\[4pt] 0 & -1 & 5 & 4 & 0 \end{array}\right].
Explicação rápida: cada linha corresponde a uma equação, as colunas aos coeficientes de x,y,z,w e a última coluna é o vetor de constantes.]

Passo 3

Lembrete das operações elementares de linha permitidas (essas não mudam o conjunto de soluções):
  1. trocar duas linhas;
  2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
  3. somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Vamos usar essas operações para obter uma forma triangular (escalonada).

Passo 4

Primeira operação: eliminar o coeficiente de x na terceira linha usando a primeira linha. Fazemos
R_3 \leftarrow R_3 + R_1.
Cálculo componente a componente da linha 3:
(-1)+1=0,\qquad 6+(-6)=0,\qquad 1+0=1,\qquad 5+0=5,\qquad 3+5=8.
A matriz aumentada passa a ser
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -6 & 0 & 0 & 5\\[4pt] 0 & 1 & -4 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 5 & 8\\[4pt] 0 & -1 & 5 & 4 & 0 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora usamos a segunda linha (pivot em y) para eliminar o coeficiente de y na quarta linha. Fazemos
R_4 \leftarrow R_4 + R_2.
Cálculo componente a componente da linha 4:
0+0=0,\qquad (-1)+1=0,\qquad 5+(-4)=1,\qquad 4+1=5,\qquad 0+0=0.
A matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -6 & 0 & 0 & 5\\[4pt] 0 & 1 & -4 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 5 & 8\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 5 & 0 \end{array}\right].]

Passo 6

Observe as duas últimas linhas agora. Elas representam, respectivamente, as equações (lendo as linhas como equações):
\text{linha 3:}\quad z+5w=8,
\text{linha 4:}\quad z+5w=0.
Essas duas equações têm o mesmo lado esquerdo ( z+5w) mas termos independentes diferentes ( 8 e 0). Isso é uma contradição: não existe par (z,w) que satisfaça simultaneamente z+5w=8 e z+5w=0.

Passo 7

Conclusão a partir da contradição: o sistema é inconsistente, isto é, não tem solução. Em linguagem linear, isso aparece porque ao escalonar chegamos a duas linhas iguais na parte dos coeficientes mas com termos independentes diferentes — um sinal claro de incompatibilidade.

Passo 8

Comentário sobre a Regra de Cramer: a Regra de Cramer exige que a matriz de coeficientes A tenha determinante não nulo ( \det(A)\neq 0). Vamos checar rapidamente o determinante usando as mesmas operações que fizemos (somar linhas não altera o determinante). Depois das duas operações R_3\leftarrow R_3+R_1 e R_4\leftarrow R_4+R_2 obtivemos a matriz de coeficientes transformada
\left[\begin{array}{cccc} 1 & -6 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -4 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}\right].
Nessa matriz as duas últimas linhas são idênticas, portanto o determinante vale zero. Logo \det(A)=0 e a Regra de Cramer não é aplicável. (Observação: \det(A)=0 permite que o sistema tenha infinitas soluções ou nenhuma; no nosso caso, por causa da contradição encontrada, o sistema não tem solução.)]

Resposta

Sistema incompatível (sem solução).

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