Questão 1: Resolva os sistemas de equações lineares usando a técnica de escalonamento e quando possivel pela Regra de Cramer. \left\{\begin{aligned} y+5 z & =-4 \\\ x+4 y+3 z & =-2 \\\\ 2 x+7 y+z & =-2\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear e, quando possível, também aplicar a Regra de Cramer. As equações dadas são:
Informações relevantes que temos: são três incógnitas (x,y,z) e três equações lineares. A missão é encontrar todos os valores de (x,y,z) que satisfaçam simultaneamente as três equações, usando escalonamento (eliminação) e — se possível — verificar com a Regra de Cramer.]
Passo 2
Vamos começar montando a matriz aumentada do sistema. Ordeno as equações colocando primeiro a que tem x (para facilitar pivô em x). A partir das equações reescrevo as linhas na ordem (2),(1),(3):
onde cada linha corresponde a uma equação e as colunas são, nesta ordem, os coeficientes de x, y, z e a coluna à direita do traço vertical é o termo independente (o lado direito das equações).]
Passo 3
Explico rapidamente o que faremos: escalonamento (eliminação de Gauss) usa operações elementares entre linhas para chegar a uma forma triangular (ou escalonada), e então deduzimos soluções por substituição. Operações elementares que podemos usar: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra linha. Agora aplico a primeira operação para zerar o termo x da terceira linha.
Interpretação do que apareceu na terceira linha: a linha corresponde à equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = -2,
ou seja,
0 = -2.
Isso é uma contradição lógica — não existe nenhum triplo (x,y,z) que satisfaça 0=-2. Quando, ao escalonar a matriz aumentada, aparece uma linha com todos coeficientes zero e termo independente diferente de zero, isso indica que o sistema é incompatível (não tem solução).
Passo 6
Conclusão pelo escalonamento: o sistema é incompatível — não existe solução. Agora explico por que não podemos aplicar a Regra de Cramer: a Regra de Cramer só é válida quando a matriz dos coeficientes é invertível, isto é, quando seu determinante é diferente de zero. Vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes para confirmar que ele é zero.
A matriz dos coeficientes, na ordem das equações originais (1),(2),(3), é
Como \det(A)=0, a Regra de Cramer não pode ser aplicada (ela exige \det(A)\neq 0). Esse resultado também é consistente com o que vimos no escalonamento: matriz singular e sistema sem solução (ou poderia ser sistema com infinitas soluções em outros casos; aqui é sem solução por causa da contradição obtida).]