Questão 1: Resolva os sistemas de equações lineares usando a técnica de escalonamento e quando possivel pela Regra de Cramer.
\left\{\begin{aligned} y+5 z & =-4 \\\ x+4 y+3 z & =-2 \\\\ 2 x+7 y+z & =-2\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear e, quando possível, também aplicar a Regra de Cramer. As equações dadas são:
\begin{cases} y+5z=-4,\\[4pt] x+4y+3z=-2,\\[4pt] 2x+7y+z=-2. \end{cases}
Informações relevantes que temos: são três incógnitas (x,y,z) e três equações lineares. A missão é encontrar todos os valores de (x,y,z) que satisfaçam simultaneamente as três equações, usando escalonamento (eliminação) e — se possível — verificar com a Regra de Cramer.]

Passo 2

Vamos começar montando a matriz aumentada do sistema. Ordeno as equações colocando primeiro a que tem x (para facilitar pivô em x). A partir das equações reescrevo as linhas na ordem (2),(1),(3):
\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 & \vline & -2\\[4pt] 0 & 1 & 5 & \vline & -4\\[4pt] 2 & 7 & 1 & \vline & -2 \end{pmatrix},
onde cada linha corresponde a uma equação e as colunas são, nesta ordem, os coeficientes de x, y, z e a coluna à direita do traço vertical é o termo independente (o lado direito das equações).]

Passo 3

Explico rapidamente o que faremos: escalonamento (eliminação de Gauss) usa operações elementares entre linhas para chegar a uma forma triangular (ou escalonada), e então deduzimos soluções por substituição. Operações elementares que podemos usar: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra linha. Agora aplico a primeira operação para zerar o termo x da terceira linha.
Faço a operação
R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1.
Calculo termo a termo:
  • coeficiente de x: 2 - 2\cdot 1 = 0,
  • coeficiente de y: 7 - 2\cdot 4 = 7 - 8 = -1,
  • coeficiente de z: 1 - 2\cdot 3 = 1 - 6 = -5,
  • termo independente: -2 - 2\cdot(-2) = -2 + 4 = 2.
A matriz aumentada fica
\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 & \vline & -2\\[4pt] 0 & 1 & 5 & \vline & -4\\[4pt] 0 & -1 & -5 & \vline & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora quero eliminar o coeficiente de y da terceira linha usando a segunda linha. Observando, R_2 tem coeficiente 1 em y e R_3 tem -1, então faço
R_3 \leftarrow R_3 + R_2.
Calculo termo a termo:
  • coeficiente de x: 0 + 0 = 0,
  • coeficiente de y: -1 + 1 = 0,
  • coeficiente de z: -5 + 5 = 0,
  • termo independente: 2 + (-4) = -2.
A matriz resultante é
\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 & \vline & -2\\[4pt] 0 & 1 & 5 & \vline & -4\\[4pt] 0 & 0 & 0 & \vline & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Interpretação do que apareceu na terceira linha: a linha corresponde à equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = -2,
ou seja,
0 = -2.
Isso é uma contradição lógica — não existe nenhum triplo (x,y,z) que satisfaça 0=-2. Quando, ao escalonar a matriz aumentada, aparece uma linha com todos coeficientes zero e termo independente diferente de zero, isso indica que o sistema é incompatível (não tem solução).

Passo 6

Conclusão pelo escalonamento: o sistema é incompatível — não existe solução. Agora explico por que não podemos aplicar a Regra de Cramer: a Regra de Cramer só é válida quando a matriz dos coeficientes é invertível, isto é, quando seu determinante é diferente de zero. Vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes para confirmar que ele é zero.
A matriz dos coeficientes, na ordem das equações originais (1),(2),(3), é
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 5\\[4pt] 1 & 4 & 3\\[4pt] 2 & 7 & 1 \end{pmatrix}.
Calculando o determinante por desenvolvimento pela primeira linha:
\det(A)=0\cdot\det\begin{pmatrix}4&3\\[2pt]7&1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1&3\\[2pt]2&1\end{pmatrix} +5\cdot\det\begin{pmatrix}1&4\\[2pt]2&7\end{pmatrix}.
Avalio cada menor:
\det\begin{pmatrix}1&3\\[2pt]2&1\end{pmatrix}=1\cdot1-3\cdot2=1-6=-5,
\det\begin{pmatrix}1&4\\[2pt]2&7\end{pmatrix}=1\cdot7-4\cdot2=7-8=-1.
Logo
\det(A)=0 -1\cdot(-5) +5\cdot(-1)=5 -5 =0.
Como \det(A)=0, a Regra de Cramer não pode ser aplicada (ela exige \det(A)\neq 0). Esse resultado também é consistente com o que vimos no escalonamento: matriz singular e sistema sem solução (ou poderia ser sistema com infinitas soluções em outros casos; aqui é sem solução por causa da contradição obtida).]

Resposta

Sistema incompatível — não há solução.

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