Determinar
ângulo entre os seguintes planos
e
e
Passo 1
O enunciado pede: determinar o ângulo entre os planos
e
, dados por
e
Vou interpretar a letra
como a variável
(isto é,
). As informações relevantes são os coeficientes das variáveis em cada equação (o termo constante
em
não altera a orientação do plano). A pergunta é: qual é o ângulo entre esses dois planos?
Passo 2
Para cada plano, extraímos o vetor normal (o vetor perpendicular ao plano). Regra: se um plano tem equação
, então um vetor normal é
. Aplicando isso:
Observação: o termo constante (
) não entra no vetor normal.
Passo 3
Agora vamos lembrar como decidir o ângulo entre planos usando vetores normais. O ângulo entre dois planos é definido como o ângulo entre seus vetores normais. Para calcular o ângulo entre dois vetores usamos o produto escalar. Definição do produto escalar: para
e
,
Calculemos o produto escalar
:
Quando o produto escalar é
, os vetores são perpendiculares.
Passo 4
Para estar completo, vou mostrar também o cálculo das normas (módulos) dos vetores. Norma de um vetor
é
Logo
Passo 5
Fórmula do cosseno do ângulo
entre dois vetores:
Substituindo os valores que já calculamos:
Se
, então
radianos, isto é,
. Como o ângulo entre planos é o ângulo entre seus normais, isso diz que os planos são perpendiculares.