Determinar o ângulo entre os seguintes planos
\pi_{1}: x+2 v-6=0
e \pi_{2}: 2 \mathrm{x}-\mathrm{y}-\mathrm{z}=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar o ângulo entre os planos \pi_{1} e \pi_{2}, dados por
\pi_{1}: x+2v-6=0
e
\pi_{2}: 2x-y-z=0.
Vou interpretar a letra v como a variável y (isto é, \pi_{1}: x+2y-6=0). As informações relevantes são os coeficientes das variáveis em cada equação (o termo constante -6 em \pi_{1} não altera a orientação do plano). A pergunta é: qual é o ângulo entre esses dois planos?

Passo 2

Para cada plano, extraímos o vetor normal (o vetor perpendicular ao plano). Regra: se um plano tem equação ax+by+cz+d=0, então um vetor normal é (a,b,c). Aplicando isso:
\text{Para }\pi_{1}: a=1,\; b=2,\; c=0 \implies n_{1}=(1,2,0).
\text{Para }\pi_{2}: a=2,\; b=-1,\; c=-1 \implies n_{2}=(2,-1,-1).
Observação: o termo constante ( -6) não entra no vetor normal.

Passo 3

Agora vamos lembrar como decidir o ângulo entre planos usando vetores normais. O ângulo entre dois planos é definido como o ângulo entre seus vetores normais. Para calcular o ângulo entre dois vetores usamos o produto escalar. Definição do produto escalar: para u=(u_{1},u_{2},u_{3}) e v=(v_{1},v_{2},v_{3}),
u\cdot v = u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}.
Calculemos o produto escalar n_{1}\cdot n_{2}:
n_{1}\cdot n_{2} = 1\cdot 2 + 2\cdot(-1) + 0\cdot(-1) = 2-2+0 = 0.
Quando o produto escalar é 0, os vetores são perpendiculares.

Passo 4

Para estar completo, vou mostrar também o cálculo das normas (módulos) dos vetores. Norma de um vetor u=(u_{1},u_{2},u_{3}) é
\|u\|=\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}}.
Logo
\|n_{1}\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+0^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5},
\|n_{2}\|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}.

Passo 5

Fórmula do cosseno do ângulo \theta entre dois vetores:
\cos\theta=\frac{n_{1}\cdot n_{2}}{\|n_{1}\|\|n_{2}\|}.
Substituindo os valores que já calculamos:
\cos\theta=\frac{0}{\sqrt{5}\,\sqrt{6}}=0.
Se \cos\theta=0, então \theta=\frac{\pi}{2} radianos, isto é, \theta=90^\circ. Como o ângulo entre planos é o ângulo entre seus normais, isso diz que os planos são perpendiculares.

Resposta

\theta=90^\circ=\dfrac{\pi}{2}

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