Questão 2. Resolva usando a transformada de LAPLACE.
;
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre a solução
com
A função forçante
é dada por
Portanto a pergunta é: determinar explicitamente
, levando em conta a natureza em escadas de
.]
Passo 2
Primeiro vamos escrever
usando a função degrau unitário (função de Heaviside). A representação é
onde
é zero para
e
para
. Esta forma facilita o uso da transformada de Laplace porque conhecemos a transformada de
.
Agora aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Denotamos por
a transformada de Laplace de
:
Passo 3
Recordando fórmulas básicas para transformadas de derivadas:
Aqui
é a variável da transformada e
é a imagem de
. Usando
e
obtemos
Passo 4
Somando as transformadas do lado esquerdo:
Do lado direito usamos a representação em degraus para
. A transformada de
é
, portanto
Passo 5
Igualando transformadas:
Isolando
:
É conveniente separar:
Passo 6
Vamos inverter termo a termo. Primeiro observe que
Logo
Isto vem da transformada conhecida
.
Agora precisamos inverter
Vamos decompor em frações parciais para achar
.
Passo 7
Fazemos a decomposição
Multiplicando por
obtemos
Igualando coeficientes:
s^2: ⇒
.
s^1: ⇒
.
constante: ⇒
.
Logo ,
.
s^2:
s^1:
constante:
Logo
Portanto
Passo 8
Reescrevemos o segundo termo em termos de
. Com
e
:
Assim
Agora aplicamos inversas conhecidas:
Passo 9
Portanto
é
Simplificando,
Passo 10
Voltando a
, o termo com fatores exponenciais
e
corresponde, pela propriedade de deslocamento, a termos do tipo
:
Logo a solução
é
Passo 11
Agora expressemos
explicitamente em cada intervalo.
- Para
temos e . Logo
- Para
temos e . Então
Compute
. Usando
com
,
Usando as identidades
,
e
, obtemos
Portanto, para
,
- Para
temos . Então
Já calculamos
. Para
façamos igual:
Mas
,
e
. Logo
Subtraindo,
Assim, para
,