Teste para convergência
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
Informações dadas:
- O termo geral é
para . - A tarefa é verificar se a série converge e, se possível, encontrar seu valor quando converge.
Passo 2
Primeiro passo técnico: decompor o termo em frações parciais para ver se a soma se simplifica. Procuro constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Isso é uma identidade em
. Igualando coeficientes de
e termos constantes:
- Coeficiente de
: ⇒ . - Termo constante:
.
Da segunda equação vem; da primeira vem . Portanto
Passo 3
Com a decomposição, a série vira
Para estudar convergência e calcular a soma, considero a soma parcial
Vou manipular
escrevendo as duas somas separadamente:
Passo 4
Introduzo os números harmônicos para organizar as somas. Defino o número harmônico
Agora computo cada soma em termos de
:
- A soma dos termos pares até
é
- A soma dos termos ímpares
para pode ser expressa usando . Note que
portanto
Substituindo essas expressões em
:
Simplificando,
Passo 5
Agora tomo o limite quando
. Para isso uso a conhecida propriedade dos números harmônicos:
onde
é a constante de Euler–Mascheroni e
denota um termo que vai para zero. Usando essa representação para
e
obtém-se
Os dois primeiros parênteses tendem a zero quando
, então
Assim, voltando a
,
Portanto a série converge e seu somatório é
.
Passo 6
Comentário prático e numérico rápido para motivar confiança:
é aproximadamente
. Você pode checar calculando algumas somas parciais e vendo que elas se aproximam desse valor.