Teste para convergência
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n(2 n+1)}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n(2 n+1)}.
Informações dadas:
  • O termo geral é \dfrac{1}{2 n(2 n+1)} para n=1,2,3,\dots.
  • A tarefa é verificar se a série converge e, se possível, encontrar seu valor quando converge.

Passo 2

Primeiro passo técnico: decompor o termo em frações parciais para ver se a soma se simplifica. Procuro constantes A e B tais que
\frac{1}{2n(2n+1)}=\frac{A}{2n}+\frac{B}{2n+1}.
Multiplicando ambos os lados por 2n(2n+1) obtemos
1 = A(2n+1)+B(2n).
Isso é uma identidade em n. Igualando coeficientes de n e termos constantes:
  • Coeficiente de n: 2A+2B=0 A+B=0.
  • Termo constante: A=1.
    Da segunda equação vem A=1; da primeira vem B=-A=-1. Portanto
\frac{1}{2n(2n+1)}=\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1}.

Passo 3

Com a decomposição, a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1}\right).
Para estudar convergência e calcular a soma, considero a soma parcial
S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1}\right).
Vou manipular S_N escrevendo as duas somas separadamente:
S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2n}-\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2n+1}.

Passo 4

Introduzo os números harmônicos para organizar as somas. Defino o número harmônico
H_m=\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{k}.
Agora computo cada soma em termos de H:
  • A soma dos termos pares até 2N é
\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}=\frac{1}{2}H_N.
  • A soma dos termos ímpares \dfrac{1}{2n+1} para n=1,\dots,N pode ser expressa usando H_{2N+1}. Note que
H_{2N+1}=\sum_{k=1}^{2N+1}\frac{1}{k}=\underbrace{\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2n}}_{\text{somas pares}}+\underbrace{\left(1+\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2n+1}\right)}_{\text{somas ímpares}},í
portanto
\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2n+1}=H_{2N+1}-1-\frac{1}{2}H_N.
Substituindo essas expressões em S_N:
S_N=\frac{1}{2}H_N-\left(H_{2N+1}-1-\frac{1}{2}H_N\right).
Simplificando,
S_N=1+H_N-H_{2N+1}.

Passo 5

Agora tomo o limite quando N\to\infty. Para isso uso a conhecida propriedade dos números harmônicos:
H_m=\ln m+\gamma+o(1)\quad\text{quando }m\to\infty,
onde \gamma é a constante de Euler–Mascheroni e o(1) denota um termo que vai para zero. Usando essa representação para H_N e H_{2N+1} obtém-se
H_N-H_{2N+1}=(H_N-\ln N)-(H_{2N+1}-\ln(2N+1))+\ln\!\left(\frac{N}{2N+1}\right).
Os dois primeiros parênteses tendem a zero quando N\to\infty, então
\lim_{N\to\infty}(H_N-H_{2N+1})=\lim_{N\to\infty}\ln\!\left(\frac{N}{2N+1}\right)=\ln\!\left(\frac{1}{2}\right)=-\ln 2.
Assim, voltando a S_N,
\lim_{N\to\infty}S_N=1+\lim_{N\to\infty}(H_N-H_{2N+1})=1- \ln 2.
Portanto a série converge e seu somatório é 1-\ln 2.

Passo 6

Comentário prático e numérico rápido para motivar confiança: 1-\ln 2 é aproximadamente 1-0,6931\approx 0,3069. Você pode checar calculando algumas somas parciais e vendo que elas se aproximam desse valor.

Resposta

1-\ln 2

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