Teste para convergência
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série cujo termo geral é dado e cujo somatório vai de
até infinito:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- O índice
começa em . - O termo geral é
. - Para todo
temos , então os termos são positivos.
A pergunta é: essa série converge (tem soma finita) ou diverge (soma infinita)?
Passo 2
Primeiro cheque necessário: os termos precisam tender a zero para a série poder convergir. Calcule
Como
quando
, temos
. Portanto a condição necessária (que os termos vão a zero) é satisfeita. Isso não garante convergência — é apenas um teste preliminar.
Passo 3
Vamos usar um teste de comparação direto. Lembre a ideia do teste de comparação simples:
- Se
para todos suficientemente grandes e diverge, então também diverge.
Aqui escolhemos comparar com a série harmónica (a série de referência)
que é bem conhecida por divergir.
Passo 4
Mostre uma desigualdade entre os termos que permita a comparação. Para
vale a desigualdade
porque a função
tem
para
, logo
é crescente em
e
, portanto
; em particular
. A partir disso obtemos
Passo 5
Como para todo
temos
e sabemos que a série harmónica
diverge (prova clássica por agrupamento:
, logo as somas parciais crescem sem limite), então, pelo teste de comparação direta, a série
também diverge.
Resposta
A série diverge.