Teste para convergência
\sum_{n=2}^{\infty}(\ln n)^{-1}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série cujo termo geral é dado e cujo somatório vai de n=2 até infinito:
\sum_{n=2}^{\infty} (\ln n)^{-1}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • O índice n começa em 2.
  • O termo geral é a_n = (\ln n)^{-1} = \dfrac{1}{\ln n}.
  • Para todo n\ge2 temos \ln n>0, então os termos são positivos.
    A pergunta é: essa série converge (tem soma finita) ou diverge (soma infinita)?

Passo 2

Primeiro cheque necessário: os termos precisam tender a zero para a série poder convergir. Calcule
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\ln n}.
Como \ln n\to\infty quando n\to\infty, temos \dfrac{1}{\ln n}\to0. Portanto a condição necessária (que os termos vão a zero) é satisfeita. Isso não garante convergência — é apenas um teste preliminar.

Passo 3

Vamos usar um teste de comparação direto. Lembre a ideia do teste de comparação simples:
  • Se a_n\ge b_n\ge0 para todos n suficientemente grandes e \sum b_n diverge, então \sum a_n também diverge.
    Aqui escolhemos comparar com a série harmónica (a série de referência)
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n},
que é bem conhecida por divergir.

Passo 4

Mostre uma desigualdade entre os termos que permita a comparação. Para n\ge2 vale a desigualdade
\ln n \le n,
porque a função g(x)=x-\ln x tem g'(x)=1-1/x>0 para x>1, logo g é crescente em x>1 e g(x)\ge g(1)=1, portanto \ln x\le x-1<x; em particular \ln n\le n. A partir disso obtemos
\frac{1}{\ln n} \ge \frac{1}{n}\qquad\text{para todo }n\ge2.

Passo 5

Como para todo n\ge2 temos a_n=\dfrac{1}{\ln n}\ge \dfrac{1}{n} e sabemos que a série harmónica
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n}
diverge (prova clássica por agrupamento: 1+\tfrac12+(\tfrac13+\tfrac14)+(\tfrac15+\cdots+\tfrac18)+\cdots \ge 1+\tfrac12+\tfrac12+\tfrac12+\cdots, logo as somas parciais crescem sem limite), então, pelo teste de comparação direta, a série \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{\ln n} também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados