Questão 2: Resolva utilizando fator integrante:
a) (valor 1,5)
a) (valor 1,5)
Passo 1
O enunciado pede que se resolva, usando fator integrante, o problema de valor inicial dado por
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação diferencial é de primeira ordem e linear em
. - O coeficiente do termo
é , que não é zero em . - Foi exigido o método do fator integrante (ou seja, não usar outro método).
A pergunta a responder: encontrar a soluçãoque satisfaz a equação diferencial e a condição .
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de equação linear de primeira ordem
Dividindo a equação dada por
(válido porque em
temos
), obtemos
Logo
Passo 3
Explicação didática do método do fator integrante:
- Para uma equação na forma
, define-se o fator integrante
- A utilidade de
é que, multiplicando a equação por , a parte à esquerda se torna a derivada do produto :
- Assim podemos integrar ambos os lados facilmente e encontrar
.
Passo 4
Calcular o fator integrante
:
Como a condição inicial está em
(onde
), podemos escolher
no domínio que contém
. Portanto
Passo 5
Multiplicar a forma padrão por
. Temos
que é exatamente
, pois
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
Agora calcular a primitiva de
(usar integração por partes):
Escolha ,
. Então
,
. Assim
Escolha
Logo
Passo 7
Isolar
e aplicar a condição inicial para determinar
:
Usando
:
avalie o numerador em :
avalie o numerador em
Então
Daqui
Passo 8
Escrever a solução final com a constante encontrada: