Questão 2: Resolva utilizando fator integrante:
a) (valor 1,5)
(x+1) \frac{d y}{d x}+y=\ln (x), \quad y(1)=10

Passo 1

O enunciado pede que se resolva, usando fator integrante, o problema de valor inicial dado por
(x+1)\frac{dy}{dx}+y=\ln(x),\qquad y(1)=10.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação diferencial é de primeira ordem e linear em y.
  • O coeficiente do termo \dfrac{dy}{dx} é x+1, que não é zero em x=1.
  • Foi exigido o método do fator integrante (ou seja, não usar outro método).
    A pergunta a responder: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição y(1)=10.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de equação linear de primeira ordem
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
Dividindo a equação dada por x+1 (válido porque em x=1 temos x+1\neq0), obtemos
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x+1}\,y=\frac{\ln(x)}{x+1}.
Logo
P(x)=\frac{1}{x+1},\qquad Q(x)=\frac{\ln(x)}{x+1}.

Passo 3

Explicação didática do método do fator integrante:
  • Para uma equação na forma \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x), define-se o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
  • A utilidade de \mu(x) é que, multiplicando a equação por \mu(x), a parte à esquerda se torna a derivada do produto \mu(x)y:
\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)P(x)y=\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big).
  • Assim podemos integrar ambos os lados facilmente e encontrar y.

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{1}{x+1}\,dx\right)=\exp\!\big(\ln|x+1|\big)=|x+1|.
Como a condição inicial está em x=1 (onde x+1>0), podemos escolher \mu(x)=x+1 no domínio que contém x=1. Portanto
\mu(x)=x+1.

Passo 5

Multiplicar a forma padrão por \mu(x). Temos
(x+1)\frac{dy}{dx}+y=\ln(x),
que é exatamente \dfrac{d}{dx}\big((x+1)y\big)=\ln(x), pois
\frac{d}{dx}\big((x+1)y\big)=(x+1)\frac{dy}{dx}+1\cdot y.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\big((x+1)y\big)=\ln(x) \quad\Longrightarrow\quad (x+1)y=\int \ln(x)\,dx + C.
Agora calcular a primitiva de \ln(x) (usar integração por partes):
Escolha u=\ln(x), dv=dx. Então du=\dfrac{1}{x}\,dx, v=x. Assim
\int \ln(x)\,dx = x\ln(x)-\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln(x)-\int 1\,dx = x\ln(x)-x.
Logo
(x+1)y = x\ln(x)-x + C.

Passo 7

Isolar y e aplicar a condição inicial para determinar C:
y(x)=\frac{x\ln(x)-x + C}{x+1}.
Usando y(1)=10:
avalie o numerador em x=1:
1\cdot\ln(1)-1 + C = 0 -1 + C = C-1.
Então
10 = y(1)=\frac{C-1}{1+1}=\frac{C-1}{2}.
Daqui
C-1 = 20 \quad\Rightarrow\quad C=21.

Passo 8

Escrever a solução final com a constante encontrada:
y(x)=\frac{x\ln(x)-x+21}{x+1}.

Resposta

y(x)=\frac{x\ln(x)-x+21}{x+1}

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