Questão 1:

a) (valor 1,5) Resolva a EDO por separação de variáveis:
\frac{d y}{d x}=y^{2}-4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária por separação de variáveis:
\frac{d y}{d x}=y^{2}-4.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A equação relaciona a derivada \dfrac{d y}{d x} com uma função apenas de y: \dfrac{d y}{d x}=y^{2}-4.
  • Deve-se encontrar a família de soluções y(x) (ou soluções particulares constantes) usando o método de separação de variáveis.

Passo 2

Ideia do método de separação de variáveis (explicação didática):
  • Quando a equação tem a forma \dfrac{d y}{d x}=g(y)h(x) (produto de função só de y por função só de x), é possível reorganizar para colocar todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro: \dfrac{1}{g(y)}\,dy = h(x)\,dx.
  • Depois integra-se ambos os lados: \int \dfrac{1}{g(y)}\,dy = \int h(x)\,dx.
  • Aqui temos \dfrac{d y}{d x}=y^{2}-4, que é do tipo g(y) com h(x)=1. Então podemos separar variáveis.

Passo 3

Separação das variáveis:
\frac{d y}{d x}=y^{2}-4 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y^{2}-4}\,dy = dx.
Agora integra-se ambos os lados em relação às suas variáveis.

Passo 4

Preparar a integral do lado esquerdo usando frações parciais (aqui uma pequena aula sobre frações parciais):
  • A função a integrar é \dfrac{1}{y^{2}-4}. Note que y^{2}-4=(y-2)(y+2).
  • Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{y^{2}-4}=\frac{A}{y-2}+\frac{B}{y+2}.
  • Igualando numeradores:
A(y+2)+B(y-2)=1.
  • Coeficientes: A+B=0 (coeficiente de y) e 2A-2B=1 (termo constante).
  • Da primeira equação B=-A. Substituindo na segunda: 2A-2(-A)=4A=1, logo A=\dfrac{1}{4} e B=-\dfrac{1}{4}.
  • Conclusão da decomposição:
\frac{1}{y^{2}-4}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{y-2}-\frac{1}{y+2}\right).

Passo 5

Integrar ambos os lados usando a decomposição:
\int \frac{1}{y^{2}-4}\,dy =\int \frac{1}{4}\left(\frac{1}{y-2}-\frac{1}{y+2}\right)\,dy =\frac{1}{4}\big(\ln|y-2|-\ln|y+2|\big)+C,
onde C é a constante de integração. O lado direito integra para \int dx = x + C_1. Agrupando constantes num único C obtemos
\frac{1}{4}\ln\left|\frac{y-2}{y+2}\right|=x+C.

Passo 6

Isolar a expressão para obter solução explícita:
  • Multiplicando por 4:
\ln\left|\frac{y-2}{y+2}\right|=4x+4C.
  • Exponenciando e absorvendo e^{4C} numa constante arbitrária K>0:
\left|\frac{y-2}{y+2}\right|=K e^{4x}.
  • Removendo o módulo e permitindo que a constante inclua o sinal (ou seja, tomando C\in\mathbb{R}, C\neq 0 ou C=0 para o caso limite):
\frac{y-2}{y+2}=C e^{4x},\qquad C\in\mathbb{R}.
  • Resolver algebricamente para y:
y-2 = C e^{4x}(y+2) \quad\Longrightarrow\quad y(1-C e^{4x}) = 2(1+C e^{4x}).
  • Assim, para 1-C e^{4x}\neq 0,
y(x)=\frac{2\big(1+C e^{4x}\big)}{1-C e^{4x}}.

Passo 7

Soluções constantes e observações sobre domínio:
  • Verificar soluções constantes: se y é constante então \dfrac{d y}{d x}=0, logo precisamos de y^{2}-4=0, isto é y=\pm 2.
  • A solução geral encontrada com constante C inclui y\equiv 2 quando C=0 (substituindo C=0 y=2 para todo x).
  • A solução y\equiv -2 também é solução, mas não surge como um valor finito de C na expressão explícita acima (pode ser vista como limite extremo).
  • Atenção a pontos onde 1-C e^{4x}=0: nesses x a expressão explícita explode (assíntota vertical) — isso indica que diferentes ramos da solução estão definidos em intervalos onde o denominador não anula.

Resposta

\displaystyle y(x)=\frac{2\big(1+C e^{4x}\big)}{1-C e^{4x}},\qquad C\in\mathbb{R}\newline
\displaystyle y(x)\equiv -2

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