Questão 1:
a) (valor 1,5) Resolva a EDO por separação de variáveis:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária por separação de variáveis:
Informações dadas e o que é pedido:
- A equação relaciona a derivada
com uma função apenas de : . - Deve-se encontrar a família de soluções
(ou soluções particulares constantes) usando o método de separação de variáveis.
Passo 2
Ideia do método de separação de variáveis (explicação didática):
- Quando a equação tem a forma
(produto de função só de por função só de ), é possível reorganizar para colocar todos os termos com de um lado e todos os termos com do outro: . - Depois integra-se ambos os lados:
. - Aqui temos
, que é do tipo com . Então podemos separar variáveis.
Passo 3
Separação das variáveis:
Agora integra-se ambos os lados em relação às suas variáveis.
Passo 4
Preparar a integral do lado esquerdo usando frações parciais (aqui uma pequena aula sobre frações parciais):
- A função a integrar é
. Note que . - Procuramos constantes
e tais que
- Igualando numeradores:
- Coeficientes:
(coeficiente de ) e (termo constante). - Da primeira equação
. Substituindo na segunda: , logo e . - Conclusão da decomposição:
Passo 5
Integrar ambos os lados usando a decomposição:
onde
é a constante de integração. O lado direito integra para
. Agrupando constantes num único
obtemos
Passo 6
Isolar a expressão para obter solução explícita:
- Multiplicando por
:
- Exponenciando e absorvendo
numa constante arbitrária :
- Removendo o módulo e permitindo que a constante inclua o sinal (ou seja, tomando
, ou para o caso limite):
- Resolver algebricamente para
:
- Assim, para
,
Passo 7
Soluções constantes e observações sobre domínio:
- Verificar soluções constantes: se
é constante então , logo precisamos de , isto é . - A solução geral encontrada com constante
inclui quando (substituindo dá para todo ). - A solução
também é solução, mas não surge como um valor finito de na expressão explícita acima (pode ser vista como limite extremo). - Atenção a pontos onde
: nesses a expressão explícita explode (assíntota vertical) — isso indica que diferentes ramos da solução estão definidos em intervalos onde o denominador não anula.