Questão (4(1,0)) - Respostas dinâmicas de sistemas às entradas típicas
(0,1) Descreva um exemplo prático de sistema de primeira ordem recebendo uma entrada do tipo: a) degrau; b)rampa.

Passo 1

O enunciado pede que a gente dê um exemplo prático de um sistema de primeira ordem recebendo duas entradas típicas:
– (a) um degrau de amplitude constante;
– (b) uma rampa de inclinação constante.
O conteúdo é resposta dinâmica de sistemas de primeira ordem, cujo modelo no domínio de Laplace é
G(s) = \frac{K}{\tau s + 1}
e cuja equação no tempo satisfaz
\tau \frac{dy(t)}{dt} + y(t) = K\,u(t).

Passo 2

Exemplo prático com entrada degrau: filtro passa-baixa RC alimentado por um degrau de tensão.
Descrição: um resistor R em série com um capacitor C, entrada v_\text{in}(t)=V_0\,u(t), saída v_C(t) no capacitor.
– Transfer function:
G(s)=\frac{V_C(s)}{V_\text{in}(s)}=\frac{1}{RC\,s+1},
logo é sistema de primeira ordem com ganho K=1 e constante de tempo \tau=RC.
– Para v_\text{in}(t)=V_0\,u(t), a solução no tempo é
v_C(t)=V_0\bigl(1-e^{-t/(RC)}\bigr),
que mostra o comportamento exponencial típico de resposta a degrau.

Passo 3

Exemplo prático com entrada rampa: mesmo filtro RC alimentado por uma rampa de tensão.
Descrição: continua o circuito RC, mas a entrada varia linearmente: v_\text{in}(t)=A\,t\,u(t).
– No domínio de Laplace a rampa é V_\text{in}(s)=A/s^2, e a saída é
V_C(s)=G(s)\,\frac{A}{s^2}=\frac{1}{RC\,s+1}\,\frac{A}{s^2}.
– Tomando a antitransformada, obtém-se
v_C(t)=A\Bigl(t - RC + RC\,e^{-t/(RC)}\Bigr),
que combina um termo linear A\,t (rampa) com um decaimento exponencial, mostrando o atraso característico de primeira ordem em relação à rampa de entrada.

Resposta

a) Filtro passa-baixa RC recebendo um degrau de tensão V_0\,u(t), cuja saída é
v_C(t)=V_0\bigl(1-e^{-t/(RC)}\bigr).
b) Mesmo filtro RC recebendo uma rampa de tensão A\,t\,u(t), cuja saída é
v_C(t)=A\Bigl(t - RC + RC\,e^{-t/(RC)}\Bigr).

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