Questão 8. Uma reta r passa pelo ponto A=(1,5,6) e tem a direção do vetor \vec{v}=(3,3,0).
(a) Encontre a equação vetorial da reta r.
(b) Encontre as equações paramétricas da reta r.
(c) Encontre as equações simétricas da reta r, caso exista.
(d) Encontre as equações reduzidas da reta r, caso exista.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma reta r\subset\mathbb{R}^3 que passa pelo ponto A=(1,5,6) e tem vetor diretor \vec v=(3,3,0). O conteúdo aqui é a representação de retas em \mathbb{R}^3: equação vetorial, sistemas paramétricos, simétricos e reduzidos.

Passo 2

Para obter a equação vetorial, usamos o fato de que qualquer ponto P em r pode ser escrito como
\overrightarrow{OP} \;=\;\overrightarrow{OA}+t\,\vec v,
onde t\in\mathbb{R}. Como \overrightarrow{OA}=(1,5,6) e \vec v=(3,3,0),
\mathbf{r}(t) = (1,5,6) + t\,(3,3,0).

Passo 3

Para escrever as equações paramétricas, basta olhar para cada coordenada de \mathbf{r}(t):
\begin{cases} x = 1 + 3t,\\\ y = 5 + 3t,\\\ z = 6 + 0\cdot t, \end{cases}
ou seja
x = 1 + 3t,\quad y = 5 + 3t,\quad z = 6.

Passo 4

Na forma simétrica, normalmente igualamos cada fração \tfrac{\text{coordenada}-\text{origem}}{\text{diretor}}. Aqui teríamos
\frac{x-1}{3} \;=\;\frac{y-5}{3}\;=\;\frac{z-6}{0},
mas \tfrac{z-6}{0} não está definido. Logo, não existe uma única fração envolvendo z. Podemos então escrever a parte válida
\frac{x-1}{3} = \frac{y-5}{3}, \qquad z = 6.

Passo 5

Na forma reduzida, eliminamos o parâmetro comparando duas coordenadas e deixamos a terceira constante. De x=1+3t e y=5+3t tiramos
x-1 = y-5,
e como z=6 é constante, temos o sistema reduzido
x - y = -4, \qquad z = 6.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{r}(t) = (1,5,6) + t\,(3,3,0).
(b) \displaystyle x = 1 + 3t,\;y = 5 + 3t,\;z = 6.
(c) \displaystyle \frac{x-1}{3} = \frac{y-5}{3},\quad z = 6.
(d) \displaystyle x - y = -4,\quad z = 6.

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