Questão 9. Uma reta r passa pelo ponto A=(1,5,6) e tem a direção do vetor \vec{v}=(0,0,2).
(a) Encontre a equação vetorial da reta r.
(b) Encontre as equações paramétricas da reta r.
(c) Encontre as equações simétricas da reta r, caso exista.
(d) Encontre as equações reduzidas da reta r, caso exista.
Passo 1
O enunciado diz que a reta r passa pelo ponto
A=(1,5,6)
e tem vetor diretor
\vec v=(0,0,2).
Conteúdo: para representar retas no espaço usamos
– equação vetorial, que é \vec r(t)=\vec r_0+t\,\vec v;
– equações paramétricas, que extraem de \vec r(t) as coordenadas x(t),y(t),z(t);
– equação simétrica (ou contínua) \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}, só existe se a,b,c\neq0;
– equações reduzidas, em que isolamos o parâmetro em cada coordenada: se, por exemplo, a=0 então x=x_0; se c\neq0 então t=(z-z_0)/c.
Das componentes de \vec r(t) tiramos as equações paramétricas:
x(t)=1,\quad y(t)=5,\quad z(t)=6+2t.
Passo 4
Para escrever a equação simétrica precisaríamos
\frac{x-1}{0}=\frac{y-5}{0}=\frac{z-6}{2},
mas as duas primeiras frações envolvem divisão por zero. Logo, não existe forma simétrica da reta r.
Passo 5
Nas equações reduzidas isolamos t quando possível e fixamos as coordenadas cujos denominadores são zero:
x=1,\quad y=5, \quad t=\frac{z-6}{2}.
Resposta
(a) \displaystyle \vec r(t)=(1,5,6)+t\,(0,0,2).
(b) \displaystyle x=1,\;y=5,\;z=6+2t.
(c) Não existe forma simétrica (division by zero em x e y).
(d) \displaystyle x=1,\;y=5,\;t=\frac{z-6}{2}.