Uma reta r é determinada pelo ponto A=(1,3,-1) e tem a direção do vetor \vec{v}=(3,5,7).
Encontre as equações reduzidas de r na variável z, caso exista.

Passo 1

O enunciado nos dá uma reta r que passa por A=(1,3,-1) e tem vetor diretor \vec v=(3,5,7). Precisamos escrever as equações reduzidas usando z como parâmetro, caso seja possível.

Passo 2

Primeiro escrevemos a forma paramétrica usual da reta em função de t:
\begin{cases} x = 1 + 3t,\\\ y = 3 + 5t,\\\ z = -1 + 7t. \end{cases}

Passo 3

Como a componente em z do vetor diretor é 7\neq0, podemos usar z em vez de t. Da terceira equação isolamos t:
t = \frac{z - (-1)}{7} = \frac{z+1}{7}.

Passo 4

Substituímos t = \tfrac{z+1}{7} nas expressões de x e y:
x = 1 + 3\cdot\frac{z+1}{7} = \frac{7 + 3(z+1)}{7} = \frac{3z + 10}{7},
y = 3 + 5\cdot\frac{z+1}{7} = \frac{21 + 5(z+1)}{7} = \frac{5z + 26}{7}.

Resposta

x = \frac{3z + 10}{7},\quad y = \frac{5z + 26}{7}.

Exercícios relacionados