If the allowable tensile stress for the bar is
, and the allowable shear stress for the pin is
, determine the diameter of the pin so that the load
will be a maximum. What is this load? Assume the hole in the bar has the same diameter
as the pin. Take
. and
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o diâmetro do pino
que faz com que a carga
que o conjunto suporta seja máxima, e qual é essa carga. Os dados fornecidos são:
e o furo no barra tem o mesmo diâmetro do pino, isto é
(o que reduz a largura efetiva da barra para
).
Perguntas explícitas:
Perguntas explícitas:
- Determinar o diâmetro
do pino que maximiza . - Determinar o valor máximo de
correspondente.
Passo 2
Entendendo os modos de falha que limitam
(aula rápida e intuitiva).
Temos duas formas principais de ruptura relevante aqui:
Temos duas formas principais de ruptura relevante aqui:
- Ruptura por tração na barra (seção líquida): a barra, com espessura
e largura efetiva , tem área resistente em tração igual a . A carga limite por tração é
Explanação:
é a tensão máxima admissível (kips/in²), multiplicada pela área (in²) dá a carga em kips.
- Ruptura do pino por cisalhamento (no plano de cisalhamento do pino): o pino é circular de diâmetro
, então a área de corte (área da seção do pino que resiste ao cisalhamento) é a área do círculo:
e a carga limite por cisalhamento é
Explicação:
é a tensão de cisalhamento admissível e multiplicando pela área da seção do pino obtemos a carga que provoca cisalhamento.
Observação importante (motivação do método): a carga real que o conjunto suporta é a menor dessas duas cargas para um dado
,
Para maximizar
em relação a
, o melhor caso acontece quando essas duas limitações são exatamente iguais — assim nenhuma das duas falhas domina “cedendo antes” da outra. Se uma delas fosse muito menor que a outra, poderíamos variar
para aumentar a menor até o ponto de igualdade. Portanto, o diâmetro ótimo satisfaz
Passo 3
Escrevendo as expressões substituindo os dados simbólicos (sempre em TeX):
Tensão limite da barra:
Cisalhamento limite do pino:
Substituindo os valores numéricos (mantendo símbolos por enquanto):
Agora substituímos
e
.
Passo 4
Montando a equação para o diâmetro ótimo (igualando as duas cargas):
Substituindo
e
obtemos
Vou simplificar passo a passo (aqui ensino a álgebra que você deve fazer na prova):
- Calcule
. - Calcule
.
Logo a equação vira
Multiplicando o lado esquerdo:
Portanto a equação a resolver é
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática passo a passo (fórmula quadrática). Temos
,
,
. A solução positiva (diâmetro é positivo) é
Calcule o discriminante:
Agora numéricos:
Como
é negativo, subtrair
vira somar:
A raiz do discriminante:
Agora o denominador:
Portanto
Arredondando com razoável precisão:
Observação didática: poderias na prova guardar mais casas decimais até o final e depois arredondar; aqui mostramos cada passo para você entender a origem dos números.
Passo 6
Calcule agora a carga máxima
correspondente (usar qualquer das duas expressões, já que igualamos as duas — dá o mesmo valor). Vou usar a expressão de tração por ser direta:
Área líquida da barra:
Substituindo
:
Carga por tensão:
Como
, o resultado vem em kips:
Arredondando:
Em libras-força (aproximação), lembrando que
:
Só para checar consistência, se usar a fórmula de cisalhamento do pino:
próximo ao valor acima (diferenças de arredondamento).
Passo 7
Interpretação final e recomendação para prova (dica prática):
- A técnica usada foi igualar as duas restrições (tração da barra e cisalhamento do pino) porque
e o máximo desse mínimo normalmente ocorre quando as duas contribuem igualmente. Mostre esse argumento curto e matemático na prova se pedirem justificativa. - Em problemas semelhantes, siga sempre: escreva as duas expressões de capacidade, veja qual depende de
crescentemente ou decrescentemente, e iguale-as para encontrar o ponto ótimo.
Força e ânimo — você já tem o passo a passo que pode reproduzir na prova.