If the allowable tensile stress for the bar is \left(\sigma_{t}\right)_{\text {allow }}=21 \mathrm{ksi}, and the allowable shear stress for the pin is \tau_{\text {allow }}=12 \mathrm{ksi}, determine the diameter of the pin so that the load P will be a maximum. What is this load? Assume the hole in the bar has the same diameter d as the pin. Take t=\frac{1}{4} \mathrm{in}. and w=2 \mathrm{in}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o diâmetro do pino d que faz com que a carga P que o conjunto suporta seja máxima, e qual é essa carga. Os dados fornecidos são:
\left(\sigma_{t}\right)_{\text{allow}}=21\\ \text{ksi},
\tau_{\text{allow}}=12\\ \text{ksi},
t=\frac{1}{4}\\ \text{in},
w=2\\ \text{in},
e o furo no barra tem o mesmo diâmetro do pino, isto é d (o que reduz a largura efetiva da barra para w-d).
Perguntas explícitas:
  1. Determinar o diâmetro d do pino que maximiza P.
  2. Determinar o valor máximo de P correspondente.

Passo 2

Entendendo os modos de falha que limitam P (aula rápida e intuitiva).
Temos duas formas principais de ruptura relevante aqui:
  • Ruptura por tração na barra (seção líquida): a barra, com espessura t e largura efetiva w-d, tem área resistente em tração igual a \,A_{\text{net}}=t(w-d). A carga limite por tração é
P_{\text{tensão}}=\left(\sigma_{t}\right)_{\text{allow}}\;A_{\text{net}}=\left(\sigma_{t}\right)_{\text{allow}}\,t\,(w-d).ã
Explanação: \left(\sigma_{t}\right)_{\text{allow}} é a tensão máxima admissível (kips/in²), multiplicada pela área (in²) dá a carga em kips.
  • Ruptura do pino por cisalhamento (no plano de cisalhamento do pino): o pino é circular de diâmetro d, então a área de corte (área da seção do pino que resiste ao cisalhamento) é a área do círculo:
A_{\text{pino}}=\frac{\pi d^{2}}{4},
e a carga limite por cisalhamento é
P_{\text{cisalhamento}}=\tau_{\text{allow}}\;A_{\text{pino}}=\tau_{\text{allow}}\;\frac{\pi d^{2}}{4}.
Explicação: \tau_{\text{allow}} é a tensão de cisalhamento admissível e multiplicando pela área da seção do pino obtemos a carga que provoca cisalhamento.
Observação importante (motivação do método): a carga real que o conjunto suporta é a menor dessas duas cargas para um dado d,
P(d)=\min\big(P_{\text{tensão}}(d),\;P_{\text{cisalhamento}}(d)\big).ã
Para maximizar P(d) em relação a d, o melhor caso acontece quando essas duas limitações são exatamente iguais — assim nenhuma das duas falhas domina “cedendo antes” da outra. Se uma delas fosse muito menor que a outra, poderíamos variar d para aumentar a menor até o ponto de igualdade. Portanto, o diâmetro ótimo satisfaz
P_{\text{tensão}}(d)=P_{\text{cisalhamento}}(d).ã

Passo 3

Escrevendo as expressões substituindo os dados simbólicos (sempre em TeX):
Tensão limite da barra:
P_{\text{tensão}}=\left(\sigma_{t}\right)_{\text{allow}}\,t\,(w-d).ã
Cisalhamento limite do pino:
P_{\text{cisalhamento}}=\tau_{\text{allow}}\;\frac{\pi d^{2}}{4}.
Substituindo os valores numéricos (mantendo símbolos por enquanto):
21\\ \text{ksi}\cdot t\cdot(w-d)=12\\ \text{ksi}\cdot\frac{\pi d^{2}}{4}.
Agora substituímos t=\frac{1}{4}\\ \text{in} e w=2\\ \text{in}.

Passo 4

Montando a equação para o diâmetro ótimo (igualando as duas cargas):
Substituindo t=\dfrac{1}{4} e w=2 obtemos
21\cdot\frac{1}{4}\,(2-d)=12\cdot\frac{\pi d^{2}}{4}.
Vou simplificar passo a passo (aqui ensino a álgebra que você deve fazer na prova):
  • Calcule 21\cdot\frac{1}{4}= \frac{21}{4}=5,25.
  • Calcule 12\cdot\frac{\pi}{4}=3\pi.
Logo a equação vira
5,25\,(2-d)=3\pi d^{2}.
Multiplicando o lado esquerdo:
5,25\cdot 2 - 5,25\,d = 10,5 - 5,25\,d.
Portanto a equação a resolver é
3\pi d^{2} + 5,25\,d - 10,5 = 0.

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática passo a passo (fórmula quadrática). Temos a=3\pi, b=5,25, c=-10,5. A solução positiva (diâmetro é positivo) é
d=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Calcule o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=5,25^{2}-4(3\pi)(-10,5).
Agora numéricos:
5,25^{2}=27,5625,
4(3\pi)(10,5)=12\pi\cdot 10,5=126\pi\approx 126\cdot 3,14159265\approx 396,1407.
Como c é negativo, subtrair 4ac vira somar:
\Delta\approx 27,5625 + 396,1407 \approx 423,7032.
A raiz do discriminante:
\sqrt{\Delta}\approx \sqrt{423,7032}\approx 20,589.
Agora o denominador:
2a=2(3\pi)=6\pi\approx 18,8496.
Portanto
d\approx \frac{-5,25 + 20,589}{18,8496}=\frac{15,339}{18,8496}\approx 0,8139\\ \text{in}.
Arredondando com razoável precisão:
d\approx 0,814\\ \text{in}.
Observação didática: poderias na prova guardar mais casas decimais até o final e depois arredondar; aqui mostramos cada passo para você entender a origem dos números.

Passo 6

Calcule agora a carga máxima P correspondente (usar qualquer das duas expressões, já que igualamos as duas — dá o mesmo valor). Vou usar a expressão de tração por ser direta:
Área líquida da barra:
A_{\text{net}}=t(w-d)=\frac{1}{4}(2-d).
Substituindo d\approx 0,8139:
A_{\text{net}}\approx \frac{1}{4}(2-0,8139)=\frac{1}{4}\cdot 1,1861 \approx 0,296525\\ \text{in}^2.
Carga por tensão:
P=\left(\sigma_{t}\right)_{\text{allow}}\,A_{\text{net}}=21\\ \text{ksi}\cdot 0,296525\\ \text{in}^2.
Como 1\\ \text{ksi}=1\\ \text{kips}/\text{in}^2, o resultado vem em kips:
P\approx 21\cdot 0,296525 \approx 6,2270\\ \text{kips}.
Arredondando:
P\approx 6,23\\ \text{kips}.
Em libras-força (aproximação), lembrando que 1\\ \text{kip}=1000\\ \text{lb}:
P\approx 6\,230\\ \text{lb}\\ (\text{aprox.}).
Só para checar consistência, se usar a fórmula de cisalhamento do pino:
P=\tau_{\text{allow}}\frac{\pi d^{2}}{4}=12\cdot\frac{\pi(0,8139)^{2}}{4}\approx 6,24\\ \text{kips},
próximo ao valor acima (diferenças de arredondamento).

Passo 7

Interpretação final e recomendação para prova (dica prática):
  • A técnica usada foi igualar as duas restrições (tração da barra e cisalhamento do pino) porque P(d)=\min(\cdot,\cdot) e o máximo desse mínimo normalmente ocorre quando as duas contribuem igualmente. Mostre esse argumento curto e matemático na prova se pedirem justificativa.
  • Em problemas semelhantes, siga sempre: escreva as duas expressões de capacidade, veja qual depende de d crescentemente ou decrescentemente, e iguale-as para encontrar o ponto ótimo.
Força e ânimo — você já tem o passo a passo que pode reproduzir na prova.

Resposta

d\approx 0,814\\ \text{in}
P_{\max}\approx 6,23\\ \text{kips} (aprox. 6\,230\\ \text{lb})

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