QUESTÃO 3: Sabendo-se que o elemento químico rádio ( Ra ) decompõe-se naturalmente em proporção direta à quantidade presente, e que leva 250 anos para decompor 10% de uma certa quantidade, quantos anos levará para decompor a metade da quantidade inicial? (0,5 ponto)

Passo 1

Beleza, o enunciado fala que o rádio (Ra) se decompõe de modo proporcional à quantidade presente, ou seja, é um decaimento exponencial. Em 250 anos ele perde 10 % da massa, e a gente quer achar quanto tempo leva pra perder 50 % (a “meia-vida”). A matéria aqui é Função Exponencial e Logaritmo: vamos usar a fórmula de decaimento e as propriedades de logaritmo natural.

Passo 2

Num decaimento exponencial de primeira ordem, a quantidade N(t) num tempo t é
N(t) = N0,e^-k,t,
onde N0 é o que você tinha no começo e k é a constante de decaimento (sempre positiva).

Passo 3

Como em 250 anos o rádio perde 10 %, sobra 90 %:
N(250)=0.9,N0Longrightarrow0.9 = e^-250,k
Agora aplicamos logaritmo natural:
ln(0.9) = -250,k Longrightarrow k = -1250,ln(0.9)

Passo 4

A meia-vida t1/2 é o tempo em que sobra metade da quantidade:
0.5 = e^-k,t1/2 Longrightarrow ln(0.5) = -,k,t1/2 Longrightarrow t1/2 = -ln(0.5)k

Passo 5

Substituindo k em t1/2:
t1/2 = -ln(0.5)-1250ln(0.9) = 250,ln(0.5)ln(0.9)
Como ln(0.5)approx -0.6931 e ln(0.9)approx -0.1054, o quociente é cerca de 6.58, e multiplicando por 250 dá aproximadamente 1645 anos (arredondando, uns 1650 anos).

Resposta

Levará cerca de 1650 anos para decompor metade da quantidade inicial de rádio.

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