QUESTÃO 3: Sabendo-se que o elemento químico rádio ( Ra ) decompõe-se naturalmente em proporção direta à quantidade presente, e que leva 250 anos para decompor 10% de uma certa quantidade, quantos anos levará para decompor a metade da quantidade inicial? (0,5 ponto)
Passo 1
Beleza, o enunciado fala que o rádio (Ra) se decompõe de modo proporcional à quantidade presente, ou seja, é um decaimento exponencial. Em 250 anos ele perde 10 % da massa, e a gente quer achar quanto tempo leva pra perder 50 % (a “meia-vida”). A matéria aqui é Função Exponencial e Logaritmo: vamos usar a fórmula de decaimento e as propriedades de logaritmo natural.
Passo 2
Num decaimento exponencial de primeira ordem, a quantidade
num tempo
é
onde
é o que você tinha no começo e
é a constante de decaimento (sempre positiva).
Passo 3
Como em 250 anos o rádio perde 10 %, sobra 90 %:
Agora aplicamos logaritmo natural:
Passo 4
A meia-vida
é o tempo em que sobra metade da quantidade:
Passo 5
Substituindo
em
:
Como
e
, o quociente é cerca de
, e multiplicando por 250 dá aproximadamente
anos (arredondando, uns 1650 anos).
Resposta
Levará cerca de 1650 anos para decompor metade da quantidade inicial de rádio.