QUESTÃO 4: Resolver as seguintes EDOs redutíveis às EDOs homogêneas ou de variáveis separáveis. (1,0 ponto)
(2 x-y+4) d y+(x-2 y+5) d x=0

Passo 1

Resumo do enunciado: resolver a EDO
(2x - y + 4),dy + (x - 2y + 5),dx = 0
Conteúdo: equações diferenciais de 1ª ordem redutíveis a homogêneas ou separáveis.
O que precisamos:
  • Escrever na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0.
  • Testar se é exata ( partial M/partial y=partial N/partial x).
  • Testar se é homogênea (mesmo grau sem termos independentes).
  • Se não for, usar translação para eliminar constantes.
  • Resolver a homogênea por Y=uX, separar e integrar.
  • Voltar às variáveis originais.

Passo 2

Colocando em M,dx+N,dy=0:
M(x,y)=x-2y+5, N(x,y)=2x-y+4
Testa exatidão:
partial Mpartial y=-2, partial Npartial x=2 ;Longrightarrow; não é exata ãé
Testa homogeneidade: tem termos constantes (“5” e “4”), logo não é homogênea.

Passo 3

Pra virar homogênea, a gente faz uma translação
X=x+ a, Y=y+ b
e ajusta a,b pra zerar as constantes em x-2y+5 e 2x-y+4.
Resolvendo
-2a+b+4=0, -a+2b+5=0 ;Longrightarrow; a=1,;b=-2
Então definimos
X=x+1, Y=y-2

Passo 4

Substituindo x=X-1, y=Y+2, a EDO fica
(X-2Y),dX+(2X-Y),dY=0,
que é homogênea de grau 1 (polinômios lineares sem termo independente).

Passo 5

Para resolver a homogênea, usa-se
Y=uXLongrightarrow dY=u,dX+X,du
Substituindo em (X-2Y),dX+(2X-Y),dY=0 e simplificando, chega-se a
(1-u^2),dXX+(2-u),du=0,
uma equação de variáveis separáveis.

Passo 6

Integra dos dois lados:
integraldXX=-integral2-u1-u^2,du
Fazendo frações parciais em 2-u1-u^2
ln|X|=12ln|1-u|-32ln|1+u|+C1 ;Longrightarrow; X^2(1+u)^31-u=K
Agora volta pra (x,y):
X=x+1, u=YX=y-2x+1,
logo
1-u=x-y+3x+1, 1+u=x+y-1x+1
Substituindo e simplificando, obtém-se
(x+y-1)^3x-y+3=K ;Longrightarrow; (x+y-1)^3=C,(x-y+3)

Resposta

A solução geral da EDO é
(x+y-1)^3=C,(x-y+3),
onde C é uma constante arbitrária.

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