QUESTÃO 4: Resolver as seguintes EDOs redutíveis às EDOs homogêneas ou de variáveis separáveis. (1,0 ponto)
Passo 1
Resumo do enunciado: resolver a EDO
Conteúdo: equações diferenciais de 1ª ordem redutíveis a homogêneas ou separáveis.
O que precisamos:
O que precisamos:
- Escrever na forma
. - Testar se é exata (
). - Testar se é homogênea (mesmo grau sem termos independentes).
- Se não for, usar translação para eliminar constantes.
- Resolver a homogênea por
, separar e integrar. - Voltar às variáveis originais.
Passo 2
Colocando em
:
Testa exatidão:
Testa homogeneidade: tem termos constantes (“5” e “4”), logo não é homogênea.
Passo 3
Pra virar homogênea, a gente faz uma translação
e ajusta
pra zerar as constantes em
e
.
Resolvendo
Resolvendo
Então definimos
Passo 4
Substituindo
,
, a EDO fica
que é homogênea de grau 1 (polinômios lineares sem termo independente).
Passo 5
Para resolver a homogênea, usa-se
Substituindo em
e simplificando, chega-se a
uma equação de variáveis separáveis.
Passo 6
Integra dos dois lados:
Fazendo frações parciais em
dá
Agora volta pra
:
logo
Substituindo e simplificando, obtém-se
Resposta
A solução geral da EDO é
onde
é uma constante arbitrária.