Calcule a densidade de elétrons que o cristal cúbico de face centrada da prata deveria ter para que a esfera de Fermi tocasse na borda da primeira zona de Brillouin. O parâmetro de rede da prata é
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Passo 1
O enunciado pede a densidade de elétrons para um cristal fcc de Ag com parâmetro de rede a = 0,408 nm, de modo que a esfera de Fermi fique tangente à primeira zona de Brillouin. O conteúdo envolve redes recíprocas (fcc→bcc) e modelo de elétrons livres, usando a relação entre o raio da zona de Brillouin e o raio de Fermi.
Passo 2
Na rede recíproca de uma fcc (que é bcc), os vetores recíprocos permitidos são aqueles com índices h,k,l todos pares ou todos ímpares. O menor vetor não nulo é G_{111}, com magnitude
A primeira zona de Brillouin é o Wigner–Seitz desse ponto, logo seu raio é k_{BZ}=|G_{111}|/2 =
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Passo 3
No modelo de elétrons livres em 3D, o raio de Fermi satisfaz
onde n é a densidade de elétrons. Para que a esfera de Fermi toque a zona de Brillouin impomos k_F = k_{BZ}.
Passo 4
Igualando k_F e k_{BZ} temos
Elevando ao cubo e isolando n:
Passo 5
Basta agora inserir a = 0,408 nm = 0,408×10^{-9} m:
Resposta
n \approx 8,0\times10{28},\mathrm{m{-3}}