Calcule a densidade de elétrons que o cristal cúbico de face centrada da prata deveria ter para que a esfera de Fermi tocasse na borda da primeira zona de Brillouin. O parâmetro de rede da prata é 0,408 nm.

Passo 1

O enunciado pede a densidade de elétrons para um cristal fcc de Ag com parâmetro de rede a = 0,408 nm, de modo que a esfera de Fermi fique tangente à primeira zona de Brillouin. O conteúdo envolve redes recíprocas (fcc→bcc) e modelo de elétrons livres, usando a relação entre o raio da zona de Brillouin e o raio de Fermi.

Passo 2

Na rede recíproca de uma fcc (que é bcc), os vetores recíprocos permitidos são aqueles com índices h,k,l todos pares ou todos ímpares. O menor vetor não nulo é G_{111}, com magnitude
|G111|=2piaraiz1^2+1^2+1^2=2piraiz3a
A primeira zona de Brillouin é o Wigner–Seitz desse ponto, logo seu raio é k_{BZ}=|G_{111}|/2 = piraiz3/a.

Passo 3

No modelo de elétrons livres em 3D, o raio de Fermi satisfaz
kF=(3pi^2 n)^1/3,
onde n é a densidade de elétrons. Para que a esfera de Fermi toque a zona de Brillouin impomos k_F = k_{BZ}.

Passo 4

Igualando k_F e k_{BZ} temos
(3pi^2 n)^1/3=piraiz3a
Elevando ao cubo e isolando n:
n=13pi^2l(piraiz3ar)^3 =piraiz3a^3

Passo 5

Basta agora inserir a = 0,408 nm = 0,408×10^{-9} m:
a^3=(0,408times10^-9)^3approx6,79times10^-29,m^3,
n=piraiz36,79times10^-29approx8,0times10^28,m^-3

Resposta

n \approx 8,0\times10{28},\mathrm{m{-3}}

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