(Questão 7 - Seção 3.2 - Magalhães) Um milionário excêntrico, uma vez por semana, deixa seu escritório com X milhares de reais no bolso. Ao caminhar para sua casa vai distribuindo esse dinheiro aos eventuais pedintes que encontra. Admita que X tem densidade de probabilidade f(x)=\frac{x}{8} \boldsymbol{I}_{(0,4)}(x) e, também que o dinheiro que lhe resta ao chegar em casa, denotado por Y, tem probabilidade uniforme entre zero e o dinheiro com que deixou o escritório. Isto é, Y \mid(X=x) \sim U_{c}[0, x].
(a) Calcule a densidade conjunta entre X e Y.
(b) Determine a densidade marginal de Y.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma variável contínua X com densidade
f_X(x)=\frac{x}{8},\quad 0<x<4,
e que, dado X=x, a variável Y é uniforme no intervalo [0,x], ou seja