(Questão 7 - Seção 3.2 - Magalhães) Um milionário excêntrico, uma vez por semana, deixa seu escritório com X milhares de reais no bolso. Ao caminhar para sua casa vai distribuindo esse dinheiro aos eventuais pedintes que encontra. Admita que X tem densidade de probabilidade f(x)=\frac{x}{8} \boldsymbol{I}_{(0,4)}(x) e, também que o dinheiro que lhe resta ao chegar em casa, denotado por Y, tem probabilidade uniforme entre zero e o dinheiro com que deixou o escritório. Isto é, Y \mid(X=x) \sim U_{c}[0, x].
(a) Calcule a densidade conjunta entre X e Y.
(b) Determine a densidade marginal de Y.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma variável contínua X com densidade
f_X(x)=\frac{x}{8},\quad 0<x<4,
e que, dado X=x, a variável Y é uniforme no intervalo [0,x], ou seja
f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{1}{x},\quad 0\le y\le x.
Queremos, então, (a) a densidade conjunta f_{X,Y}(x,y) e (b) a densidade marginal de Y, usando as fórmulas
f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)\,f_{Y\mid X}(y\mid x), \qquad f_Y(y)=\int f_{X,Y}(x,y)\,dx.

Passo 2

Para achar a densidade conjunta aplicamos
f_{X,Y}(x,y) =f_X(x)\,f_{Y\mid X}(y\mid x) =\frac{x}{8}\cdot\frac{1}{x} =\frac{1}{8},
mas isso só vale quando 0<x<4 e 0\le y\le x. Fora dessa região, f_{X,Y}(x,y)=0.

Passo 3

Para obter a densidade marginal de Y integramos x desde o menor valor que admite (que é x=y) até o máximo 4:
f_Y(y) =\int_{x=y}^{4}f_{X,Y}(x,y)\,dx =\int_{y}^{4}\frac{1}{8}\,dx =\frac{4-y}{8},
válido para 0\le y\le4. Fora desse intervalo, f_Y(y)=0.

Resposta

(a) f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} \dfrac{1}{8},&0<x<4,\\\ 0\le y\le x,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á
(b) f_Y(y)= \begin{cases} \dfrac{4-y}{8},&0\le y\le4,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á

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