Suponha que um dispositivo elétrico tenha três lâmpadas na primeira linha e quatro lâmpadas na segunda linha. Seja X o número de lâmpadas na primeira linha que permanecem desligadas em dado momento t, e seja Y o número de lâmpadas na segunda linha que permanecem desligadas nesse mesmo tempo. Suponha que a função de probabilidade conjunta de X e Y seja como aparece na tabela a seguir:
\mathbf{X} \mathbf{Y}
\mathbf{0} \mathbf{1} \mathbf{2} \mathbf{3} \mathbf{4}
\mathbf{0} 0,08 0,07 0,06 0,01 0,01
\mathbf{1} 0,06 0,10 0,12 0,05 0,02
\mathbf{2} 0,05 0,06 0,09 0,04 0,03
\mathbf{3} 0,02 0,03 0,03 0,03 0,04
Determine cada uma das seguintes probabilidades:
P(X \leq 2, Y \leq 2).

Passo 1

O enunciado nos dá uma função de probabilidade conjunta de (X,Y) onde X pode assumir valores em \{0,1,2,3\} e Y em \{0,1,2,3,4\}. Queremos calcular a probabilidade do evento
\{X \le 2,\;Y \le 2\},
ou seja, somar todas as probabilidades p_{X,Y}(x,y) para x=0,1,2 e y=0,1,2.

Passo 2

Vamos organizar a soma por linhas de X. Para cada valor de x\in\{0,1,2\}, somamos p(x,y) para y=0,1,2.

Passo 3

Para X=0:
p(0,0)+p(0,1)+p(0,2) =0,08+0,07+0,06=0,21.

Passo 4

Para X=1:
p(1,0)+p(1,1)+p(1,2) =0,06+0,10+0,12=0,28.

Passo 5

Para X=2:
p(2,0)+p(2,1)+p(2,2) =0,05+0,06+0,09=0,20.

Passo 6

Somando as contribuições de X=0,1,2 temos
P(X\le2,Y\le2) =0,21+0,28+0,20=0,69.

Resposta

P(X\le 2,\;Y\le 2)=0,69.

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