Suponha que X\) e \(Y\) tenham uma função de probabilidade conjunta dada por: \[P(X=x, Y=y)= \begin{cases}\frac{1}{30}(x+y), & \text { para } x=0,1,2 \text { e } y=0,1,2,3 \\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{cases}
(a) Determine as funções de probabilidades marginais de X\] e de \(Y.
(b) X e Y são independentes?

Passo 1

O enunciado nos dá a função de probabilidade conjunta
P(X=x,Y=y)=\frac{1}{30}(x+y), \quad x\in\{0,1,2\},\;y\in\{0,1,2,3\},
e pede (a) as probabilidades marginais de X e de Y e (b) se X e Y são independentes.
Para as marginais usamos
p_X(x)=\sum_{y}P(X=x,Y=y), \quad p_Y(y)=\sum_{x}P(X=x,Y=y),
e para a independência checamos se
P(X=x,Y=y)=p_X(x)\,p_Y(y)
para todo par (x,y).

Passo 2

Calculando p_X(x):
p_X(x) =\sum_{y=0}^{3}\frac{1}{30}(x+y) =\frac{1}{30}\Bigl(4x+\sum_{y=0}^{3}y\Bigr) =\frac{1}{30}(4x+6) =\frac{2x+3}{15},
para x=0,1,2.

Passo 3

Calculando p_Y(y):
p_Y(y) =\sum_{x=0}^{2}\frac{1}{30}(x+y) =\frac{1}{30}\Bigl(3y+\sum_{x=0}^{2}x\Bigr) =\frac{1}{30}(3y+3) =\frac{y+1}{10},
para y=0,1,2,3.

Passo 4

Verificando independência:
p_X(x)\,p_Y(y) =\frac{2x+3}{15}\;\frac{y+1}{10} =\frac{(2x+3)(y+1)}{150},
enquanto
P(X=x,Y=y)=\frac{x+y}{30}=\frac{5(x+y)}{150}.
Em geral
(2x+3)(y+1)\neq 5(x+y),
por exemplo em x=2, y=3 (2\cdot2+3)(3+1)=28\neq5\cdot5=25. Logo não há independência.

Resposta

(a) p_X(x)=\dfrac{2x+3}{15} para x=0,1,2; \quad p_Y(y)=\dfrac{y+1}{10} para y=0,1,2,3.
(b) X e Y não são independentes.

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