Questão 4 -Os seguintes dados foram obtidos para um transformador de distribuição de 20 kVA , 60 Hz , com tensão primária de 2400 V e secundária de 240 V ensaiado a 60 Hz :
Com o enrolamento de alta tensão em circuito aberto: \mathrm{U}_{0}=240 \mathrm{~V} ; \mathrm{I}_{0}=1,038 \mathrm{~A} e \mathrm{P}_{0}=122 \mathrm{~W}.
Com os terminais de baixa tensão em curto-circuito: \mathrm{U}_{\mathrm{cc}}=61,3 \mathrm{~V} ; \mathrm{I}_{\mathrm{cc}}=8,33 \mathrm{~A} e \mathrm{P}_{\mathrm{cc}}=257 \mathrm{~W}.
(a) Calcule o rendimento com a corrente de plena carga e a tensão nominal nos terminais, operando com um fator de potência de 0,8 .
(b) Suponha que o fator de potência da carga seja variado enquanto a corrente de carga e a tensão dos terminais do secundário sejam mantidas constantes. Use um diagrama fasorial para determinar o fator de potência da carga para a qual a regulação é máxima. Qual o valor dessa regulação?

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (peguei todos estes números do enunciado):
  • Transformador: 20\\ \text{kVA}, 60\\ \text{Hz}, V_1=2400\\ \text{V} (alta tensão), V_2=240\\ \text{V} (baixa tensão).
  • Teste a circuito aberto (enrolamento de alta tensão em circuito aberto; portanto tensão aplicada no secundário de 240\\ \text{V}):
    • U_{0}=240\\ \text{V}, I_{0}=1,038\\ \text{A}, P_{0}=122\\ \text{W}.
  • Teste a curto-circuito (provavelmente aplicado no primário, com enrolamento secundário em curto):
    • U_{\mathrm{cc}}=61,3\\ \text{V}, I_{\mathrm{cc}}=8,33\\ \text{A}, P_{\mathrm{cc}}=257\\ \text{W}.
  • Potências nominais e correntes nominais:
    • Potência aparente nominal \,S=20\,000\\ \text{VA}.
    • Corrente no secundário (plena carga): I_{2n}=\dfrac{S}{V_2}=\dfrac{20\,000}{240}=83,333\\ \text{A}.
    • Corrente no primário (plena carga): I_{1n}=\dfrac{S}{V_1}=\dfrac{20\,000}{2400}=8,333\\ \text{A}.
O enunciado pede:
(a) Calcular o rendimento (eficiência) para corrente de plena carga e tensão nominal nos terminais, com fator de potência da carga igual a 0,8.
(b) Mantendo constante a corrente de carga (plena carga) e a tensão dos terminais do secundário, variar o fator de potência e, usando um diagrama fasorial, determinar o fator de potência da carga para o qual a regulação de tensão é máxima e calcular esse valor da regulação.

Passo 2

Objetivo: obter os parâmetros do circuito equivalente a partir dos ensaios (valores referidos ao mesmo lado). Primeiro extraio a impedância equivalente a partir do ensaio de curto-circuito (valores aqui referidos ao lado em que a tensão foi medida no ensaio de curto — no primário):
  • Impedância equivalente referida ao primário:
Z_{\text{eq,1}}=\dfrac{U_{\mathrm{cc}}}{I_{\mathrm{cc}}}=\dfrac{61,3}{8,33}\\ \Omega \approx 7,3579\\ \Omega.
  • Resistência equivalente (perda ôhmica) referida ao primário (com base em P_{\mathrm{cc}}):
R_{\text{eq,1}}=\dfrac{P_{\mathrm{cc}}}{I_{\mathrm{cc}}^{2}}=\dfrac{257}{8,33^{2}}\\ \Omega =\dfrac{257}{69,3889}\\ \Omega\approx 3,7049\\ \Omega.
  • Reatância equivalente referida ao primário:
X_{\text{eq,1}}=\sqrt{Z_{\text{eq,1}}^{2}-R_{\text{eq,1}}^{2}} \approx\sqrt{7,3579^{2}-3,7049^{2}}\\ \Omega\approx 6,3570\\ \Omega.

Passo 3

É mais conveniente trabalhar a parte (b) no secundário (pois a regulação refere-se normalmente à tensão do secundário). passo a passo faço a referência da impedância para o secundário; razão de transformação em tensão é a=\dfrac{V_1}{V_2}=10, logo impedâncias quando referidas ao secundário dividem por a^{2}=100:
R_{\text{eq,2}}=\dfrac{R_{\text{eq,1}}}{100}\approx\dfrac{3,7049}{100}=0,037049\\ \Omega,
X_{\text{eq,2}}=\dfrac{X_{\text{eq,1}}}{100}\approx\dfrac{6,3570}{100}=0,063570\\ \Omega,
Z_{\text{eq,2}}=\sqrt{R_{\text{eq,2}}^{2}+X_{\text{eq,2}}^{2}}\approx 0,07357\\ \Omega.
Verificação rápida: a queda de tensão (módulo) no secundário a plena carga é
\Delta V_{\text{drop}}=I_{2n}\,Z_{\text{eq,2}}=83,333\cdot 0,07357\\ \text{V}\approx 6,131\\ \text{V},
que corresponde ao valor do ensaio de curto quando referido ( 61{,}3\\ \text{V} no primário dividido por 10 dá 6{,}13\\ \text{V} no secundário). Tudo consistente.

Passo 4

Perdas relevantes para o cálculo do rendimento:
  • Perda em vazio (perdas no núcleo) obtida no ensaio a vazio: P_{\text{core}}=P_{0}=122\\ \text{W}. Essas perdas são praticamente constantes com a carga (para a finalidade do problema).
  • Perda por efeito Joule (cobre) a plena carga: é exatamente P_{\mathrm{cc}}=257\\ \text{W} (o ensaio a curto entrega a perda ôhmica quando a corrente nominal circula).
  • Perdas totais a plena carga:
P_{\text{loss,total}}=P_{\text{core}}+P_{\text{cu}}=122+257=379\\ \text{W}.

Passo 5

Cálculo da potência útil na carga (ativa) e do rendimento pedido no item (a):
  • Potência ativa entregue à carga a plena carga com fator de potência 0,8:
P_{\text{out}}=S\cdot\text{pf}=20\,000\cdot 0{,}8=16\,000\\ \text{W}.
  • Potência de entrada:
P_{\text{in}}=P_{\text{out}}+P_{\text{loss,total}}=16\,000+379=16\,379\\ \text{W}.
  • Rendimento:
\eta=\dfrac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}=\dfrac{16\,000}{16\,379}\approx 0{,}97683\approx 97{,}68\%.
Pequeno incentivo: é um rendimento bem alto, típico de transformadores de distribuição.

Passo 6

Agora parte (b): análise fasorial e condição para regulação máxima.
  • Definição de regulação (em módulo): regulação relativa (per unit) é
\text{Reg}=\dfrac{|V_{0}|-|V_{t}|}{|V_{t}|},
onde V_{t} é a tensão terminal do secundário (fixa, V_{t}=240\\ \text{V} aqui) e V_{0} é a tensão a vazio (tensão necessária para que, após a queda na impedância, apareça V_{t} quando a corrente de carga flui).
  • Relação fasorial (referida ao secundário):
V_{0}=V_{t}+I_{2}\,(R_{\text{eq,2}}+jX_{\text{eq,2}}).
  • Escrevendo a corrente de carga com módulo fixo I_{2}=I_{2n} e ângulo de carga -\varphi (convencional: carga indutiva tem corrente atrasada, i.e. ângulo negativo):
I_{2}=I_{2n}\,\mathrm{e}^{-j\varphi}.
  • Para encontrar a regulação máxima, é conveniente escrever |V_{0}|^{2} e ver a dependência em \varphi. Chamando R=R_{\text{eq,2}} e X=X_{\text{eq,2}} e I=I_{2n}, temos (desenvolvimento que mostra a ideia):
|V_{0}|^{2}=V_{t}^{2}+2V_{t}I\bigl(R\cos\varphi+X\sin\varphi\bigr)+I^{2}\bigl(R^{2}+X^{2}\bigr).
Observação importante: a única dependência em \varphi entra através do termo R\cos\varphi+X\sin\varphi. Como V_{t} e I são positivos e fixos, maximizar |V_{0}| (e portanto maximizar a regulação) equivale a maximizar
\alpha(\varphi)=R\cos\varphi+X\sin\varphi.
  • A combinação linear R\cos\varphi+X\sin\varphi atinge seu máximo possível quando a fase \varphi satisfaz
\tan\varphi=\dfrac{X}{R},
e o valor máximo é
\alpha_{\max}=\sqrt{R^{2}+X^{2}}.
Isto é um resultado trigonométrico padrão (soma de senos/cossenos ponderados) e pode ser interpretado no diagrama fasorial: a componente real da queda de tensão deve alinhar-se positivamente com V_t para obter a maior soma de módulos.

Passo 7

Aplicando aos valores numéricos (usando os parâmetros no secundário obtidos no Passo 3):
R=0,037049\\ \Omega,\qquad X=0,063570\\ \Omega.
Calcula-se o ângulo que maximiza a regulação:
\tan\varphi_{\max}=\dfrac{X}{R}=\dfrac{0,063570}{0,037049}\approx 1{,}716,
\varphi_{\max}=\arctan(1{,}716)\approx 59{,}48^\circ.
Logo o fator de potência da carga correspondente é
\text{pf}_{\max}=\cos\varphi_{\max}=\cos(59{,}48^\circ)\approx 0{,}5079\approx 0{,}508\\ (\text{defasado / indutivo}).
Observação de interpretação: isto significa que a regulação é máxima quando a corrente de carga tem um ângulo (atraso) aproximadamente igual ao ângulo da impedância equivalente; em outras palavras, quando a carga é suficientemente indutiva para fazer a queda de tensão ter sua componente real naquela direção.

Passo 8

Cálculo da regulação máxima:
  • Sabendo que no máximo \alpha_{\max}=\sqrt{R^{2}+X^{2}}=Z_{\text{eq,2}}, o módulo de V_{0} no ponto de máximo fica simplesmente
|V_{0}|_{\max}=V_{t}+I\,Z_{\text{eq,2}}.
  • Portanto a regulação máxima (em percentagem) é
\text{Reg}_{\max}=\dfrac{I\,Z_{\text{eq,2}}}{V_{t}}\times 100\%.
Substituindo valores:
I\,Z_{\text{eq,2}}=83{,}333\cdot 0{,}07357\\ \text{V}\approx 6{,}131\\ \text{V},
\text{Reg}_{\max}=\dfrac{6{,}131}{240}\times 100\%\approx 2{,}554\%.
(Isto coincide com a percentagem de impedância medida no ensaio de curto: \dfrac{6{,}13}{240}\approx 2{,}55\%.)

Passo 9

Resumo e interpretação final, motivação rápida: (a) o rendimento é obtido dividindo a potência ativa entregue pela soma das potências (saída + perdas constantes + perdas ôhmicas a plena carga); (b) por análise fasorial vimos que a regulação máxima ocorre quando o ângulo de carga \varphi satisfaz \tan\varphi=X/R, o que dá um fator de potência indutivo cerca de 0{,}508, e a regulação máxima é numericamente pequena (≈ 2{,}55\%) — transformador com baixa impedância relativa.

Resposta

(a) \eta\approx 97{,}68\%.
(b) Fator de potência para regulação máxima: \text{pf}\approx 0{,}508 (defasado, indutivo).
Regulação máxima: \approx 2{,}55\%.

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