Questão - 5
Seja A=\{1,3,9,2,9,12,13,10,19,18\}. Considerando a moda, média e mediana dos valores pertencentes ao conjunto A como X, Y e Z, podemos afirmar que:
(a) X=Y<Z
(b) X<Z<Y
(c) X>Z>Y
(d) X>Y=Z
(e) X=Y=Z

Passo 1

O enunciado dá o conjunto A=\{1,3,9,2,9,12,13,10,19,18\} e pede que consideremos as seguintes estatísticas dos valores de A: a moda X, a média Y e a mediana Z. O objetivo é comparar X, Y e Z e escolher qual das alternativas (a) a (e) é verdadeira. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{Elementos de }A: 1,3,9,2,9,12,13,10,19,18
\text{Tamanho do conjunto: }n=10

Observação imediata: o número 9 aparece mais de uma vez no conjunto (esse dado está no próprio enunciado).

Passo 2

Definição e cálculo da moda X. A moda é o(s) valor(es) que aparece(m) com maior frequência no conjunto de dados. Explicando passo a passo como achar:
  • Conto quantas vezes cada valor aparece em A.
1\to 1\text{ vez},\quad 2\to 1\text{ vez},\quad 3\to 1\text{ vez},
9\to 2\text{ vezes},\quad 10\to 1\text{ vez},\quad 12\to 1\text{ vez},
13\to 1\text{ vez},\quad 18\to 1\text{ vez},\quad 19\to 1\text{ vez}.
  • O valor com maior frequência é 9 (aparece 2 vezes; os demais aparecem 1 vez).

    Logo,
X=9.

Passo 3

Definição e fórmula da média Y. A média aritmética de n valores x_1,\dots,x_n é dada por
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Aqui n é o número de valores (aqui n=10) e x_i são os valores do conjunto. Agora aplico ao nosso conjunto A.

Passo 4

Cálculo da soma e da média passo a passo (sem pular contas). Somo os elementos de A:
1+3+9+2+9+12+13+10+19+18.

Faço somas em pares para facilitar mentalmente:
1+3=4,\quad 9+2=11,\quad 9+12=21,\quad 13+10=23,\quad 19+18=37.

Agora somo esses resultados:
4+11=15,\quad 15+21=36,\quad 36+23=59,\quad 59+37=96.

Portanto a soma é 96. Como n=10, a média é
Y=\frac{96}{10}=9,6.

Passo 5

Definição e cálculo da mediana Z. A mediana é o valor central quando os dados estão ordenados. Regras:
  • Se n é ímpar, a mediana é o elemento de posição \frac{n+1}{2}.
  • Se n é par (como aqui, n=10), a mediana é a média dos dois valores centrais, isto é, a média dos elementos de posição \frac{n}{2} e \frac{n}{2}+1.
Primeiro ordeno os valores de A em ordem crescente (peguei os valores do enunciado e coloquei em ordem):
1,2,3,9,9,10,12,13,18,19
Os dois elementos centrais (5.º e 6.º) são 9 e 10. Logo a mediana é a média deles:
Z=\frac{9+10}{2}=\frac{19}{2}=9,5.

Passo 6

Compare X, Y e Z numericamente e escolha a alternativa:
X=9,\quad Z=9,5,\quad Y=9,6.

Portanto X<Z<Y. Isso corresponde à alternativa (b).

Resposta

(b)

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