Questão 1. Seja
um anel.
(a)
Defina ideal em
.
(b)
Suponha que
seja comutativo. Mostre que fixado
o conjunto
é um ideal em
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado trabalha com um anel
. Na parte (a) ele pede a definição de ideal em
. Na parte (b), supondo
comutativo, devemos provar que, dado um elemento
, o conjunto
é um ideal. Para isso, vamos usar a definição de ideal (subgrupo aditivo que absorve multiplicação pelo anel) e verificar suas propriedades em
.
Passo 2
Definição de ideal. Seja
um anel (não necessariamente comutativo). Um subconjunto
é um ideal se e somente se:
-
é subgrupo do grupo aditivo , isto é,
a).
b) Seentão . -
absorve multiplicação por qualquer elemento de , isto é, para todo e todo vale
Passo 3
Verificação da condição de subgrupo aditivo para
.
— Como , temos
.
— Sejam . Então
— Como
— Sejam
logo
.
Assim é subgrupo de
.
Assim
Passo 4
Verificação da absorção pela multiplicação. Como
é comutativo, para todo
e
temos
Logo
. Pela comutatividade também
. Assim
absorve a multiplicação de
.
Resposta
(a) Um subconjunto
é ideal se é subgrupo de
e satisfaz
e
para todo
,
.
(b) Para vimos que
é subgrupo aditivo e que, usando a comutatividade,
sempre. Portanto
é um ideal de
.
(b) Para