Questão 1. Seja A um anel.
(a) (0,5) Defina ideal em A.
(b) (1,0) Suponha que A seja comutativo. Mostre que fixado a \in A o conjunto I=\{x \in A: a x=0\} é um ideal em A.

Passo 1

O enunciado trabalha com um anel A. Na parte (a) ele pede a definição de ideal em A. Na parte (b), supondo A comutativo, devemos provar que, dado um elemento a\in A, o conjunto
I = \{\,x\in A \mid a\,x = 0\}
é um ideal. Para isso, vamos usar a definição de ideal (subgrupo aditivo que absorve multiplicação pelo anel) e verificar suas propriedades em I.

Passo 2

Definição de ideal. Seja A um anel (não necessariamente comutativo). Um subconjunto J\subseteq A é um ideal se e somente se:
  1. J é subgrupo do grupo aditivo (A,+), isto é,
    a) 0\in J.
    b) Se x,y\in J então x - y\in J.
  2. J absorve multiplicação por qualquer elemento de A, isto é, para todo r\in A e todo x\in J vale r\,x\in J \quad\text{e}\quad x\,r\in J.

Passo 3

Verificação da condição de subgrupo aditivo para I.
— Como a\cdot 0 = 0, temos 0\in I.
— Sejam x,y\in I. Então
a\,(x - y) = a\,x - a\,y = 0 - 0 = 0,
logo x - y\in I.
Assim I é subgrupo de (A,+).

Passo 4

Verificação da absorção pela multiplicação. Como A é comutativo, para todo r\in A e x\in I temos
a\,(r\,x) \;=\;(a\,r)\,x \;=\; (r\,a)\,x \;=\; r\,(a\,x) \;=\; r\cdot 0 \;=\;0.
Logo r\,x\in I. Pela comutatividade também x\,r\in I. Assim I absorve a multiplicação de A.

Resposta

(a) Um subconjunto J\subseteq A é ideal se é subgrupo de (A,+) e satisfaz r\,x\in J e x\,r\in J para todo r\in A, x\in J.
(b) Para I=\{x\in A\mid a\,x=0\} vimos que I é subgrupo aditivo e que, usando a comutatividade, r\,x\in I sempre. Portanto I é um ideal de A.

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