Questão 2(1,5). Sejam A um anel e I \subset A ideal. Mostre que \frac{A}{I} é um anel comutativo se, e somente se, a b-b a \in I, para todos a, b \in A.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um anel A e um ideal I\subset A, o quociente \frac{A}{I} é um anel comutativo se, e somente se,
ab - ba \in I
para todos a,b\in A.
Para isso vamos usar a definição de produto no anel quociente e a caracterização de igualdade de classes laterais.

Passo 2

Suponha que \frac{A}{I} seja comutativo. Então, para quaisquer a,b\in A, vale
(a+I)(b+I) \;=\;(b+I)(a+I).
Pela definição de produto em \frac{A}{I}, isso equivale a
ab + I \;=\; ba + I.
Duas classes laterais são iguais se, e somente se, a diferença de seus representantes está em I. Logo
(ab + I) = (ba + I) \quad\Longrightarrow\quad ab - ba \in I.

Passo 3

Agora suponha que ab - ba\in I para todos a,b\in A. Então
ab + I \;=\; ba + I
e, portanto,
(a+I)(b+I) = ab + I = ba + I = (b+I)(a+I).
Como isso vale para todo par (a+I),(b+I), concluímos que \frac{A}{I} é comutativo.

Resposta

Concluímos que \frac{A}{I} é um anel comutativo se, e somente se, ab - ba \in I para todos a,b\in A.

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