Questão
. Sejam
um anel e
ideal. Mostre que
é um anel comutativo se, e somente se,
, para todos
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um anel
e um ideal
, o quociente
é um anel comutativo se, e somente se,
para todos
.
Para isso vamos usar a definição de produto no anel quociente e a caracterização de igualdade de classes laterais.
Para isso vamos usar a definição de produto no anel quociente e a caracterização de igualdade de classes laterais.
Passo 2
Suponha que
seja comutativo. Então, para quaisquer
, vale
Pela definição de produto em
, isso equivale a
Duas classes laterais são iguais se, e somente se, a diferença de seus representantes está em
. Logo
Passo 3
Agora suponha que
para todos
. Então
e, portanto,
Como isso vale para todo par
, concluímos que
é comutativo.
Resposta
Concluímos que
é um anel comutativo se, e somente se,
para todos
.