Questão 3. Sejam A anel comutativo com identidade.
(a) (0,5) Defina ideal maximal em A.
(b) (1,0) Mostre que se \mathfrak{M} e \mathfrak{N} ideais maximais distintos em A, então \mathfrak{M}+\mathfrak{N}=A.

Passo 1

O enunciado trabalha com um anel comutativo A com unidade e pede:
(a) Dar a definição de ideal maximal em A.
(b) Provar que, se \mathfrak{M} e \mathfrak{N} são ideais maximais distintos, então \mathfrak{M}+\mathfrak{N}=A.
Conteúdo usado: definição de ideal maximal e a propriedade de que, num anel com unidade, todo ideal que contém um ideal maximal é ele próprio ou o anel todo.

Passo 2

Um ideal \mathfrak{M}\subseteq A é maximal se satisfaz duas condições:
  1. \mathfrak{M} é próprio, isto é, \mathfrak{M}\neq A.
  2. Não existe ideal \mathfrak{I} tal que \mathfrak{M}\subsetneq \mathfrak{I}\subsetneq A.
    Equivalente: o quociente A/\mathfrak{M} é um corpo.

Passo 3

Para (b), seja \mathfrak{M} e \mathfrak{N} ideais maximais distintos. Como são distintos, um não está contido no outro; digamos, sem perda de generalidade, que existe
x\in \mathfrak{N}\setminus \mathfrak{M}.

Passo 4

Considere o ideal \mathfrak{I}=\mathfrak{M}+(x). Como x\notin\mathfrak{M}, temos \mathfrak{M}\subsetneq \mathfrak{I}. Mas \mathfrak{M} é maximal, logo as únicas possibilidades são \mathfrak{I}=\mathfrak{M} ou \mathfrak{I}=A. A primeira é impossível porque x\notin\mathfrak{M}. Portanto \mathfrak{I}=A, isto é,
1 = m + a\,x
para certos m\in\mathfrak{M} e a\in A.

Passo 5

Como x\in\mathfrak{N}, segue a\,x\in\mathfrak{N}. Da expressão 1=m+a\,x vemos que 1\in \mathfrak{M}+\mathfrak{N}, o que implica \mathfrak{M}+\mathfrak{N}=A.

Resposta

(a) Um ideal \mathfrak{M}\subseteq A é maximal se for próprio \mathfrak{M}\neq A e não houver ideal intermediário entre \mathfrak{M} e A. Equivalente a A/\mathfrak{M} ser corpo.
(b) Se \mathfrak{M}\neq\mathfrak{N}, escolhe-se x\in\mathfrak{N}\setminus\mathfrak{M}; então \mathfrak{M}+(x)=A pela maximalidade de \mathfrak{M}, dando \mathfrak{M}+\mathfrak{N}=A.

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