Questão 3. Sejam
anel comutativo com identidade.
(a)
Defina ideal maximal em
.
(b)
Mostre que se
e
ideais maximais distintos em
, então
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado trabalha com um anel comutativo
com unidade e pede:
(a) Dar a definição de ideal maximal em .
(b) Provar que, se e
são ideais maximais distintos, então
.
Conteúdo usado: definição de ideal maximal e a propriedade de que, num anel com unidade, todo ideal que contém um ideal maximal é ele próprio ou o anel todo.
(a) Dar a definição de ideal maximal em
(b) Provar que, se
Conteúdo usado: definição de ideal maximal e a propriedade de que, num anel com unidade, todo ideal que contém um ideal maximal é ele próprio ou o anel todo.
Passo 2
Um ideal
é maximal se satisfaz duas condições:
-
é próprio, isto é, . - Não existe ideal
tal que .
Equivalente: o quocienteé um corpo.
Passo 3
Para (b), seja
e
ideais maximais distintos. Como são distintos, um não está contido no outro; digamos, sem perda de generalidade, que existe
Passo 4
Considere o ideal
. Como
, temos
. Mas
é maximal, logo as únicas possibilidades são
ou
. A primeira é impossível porque
. Portanto
, isto é,
para certos
e
.
Passo 5
Como
, segue
. Da expressão
vemos que
, o que implica
.
Resposta
(a) Um ideal
é maximal se for próprio
e não houver ideal intermediário entre
e
. Equivalente a
ser corpo.
(b) Se , escolhe-se
; então
pela maximalidade de
, dando
.
(b) Se