Questão 9. Seja B=\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\} a base canônica de \mathbb{V}^{3}. Sendo os vetores \vec{j}=(0,1,0) e \vec{k}=(0,0,1). Encontre \vec{j} \wedge \vec{k}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto exterior (wedge) de \vec{j} e \vec{k} no espaço vetorial de dimensão 3, cuja base canônica é B=\{\vec{i},\vec{j},\vec{k}\}. Aqui vamos usar as propriedades da álgebra exterior: bilinearidade e anticomutatividade.

Passo 2

Por bilinearidade e anticomutatividade do produto exterior vale, para quaisquer vetores u,v:
u\wedge v = -\,v\wedge u,
e, em particular, os produtos das bases satisfazem
e_p\wedge e_q = \begin{cases} 0,& p=q,\\\ e_p\wedge e_q,& p<q,\\\\ -\,e_q\wedge e_p,& p>q. \end{cases}

Passo 3

Como \vec{j}=e_2 e \vec{k}=e_3, e 2<3, temos
\vec{j}\wedge\vec{k} = e_2\wedge e_3.

Resposta

\vec{j}\wedge\vec{k} = e_2\wedge e_3.

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