Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformaçōes lineares:
$$T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(\mathrm{y},-\mathrm{x})
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
por
e pede os valores próprios
e vetores próprios
tais que
O conteúdo é cálculo de valores e vetores próprios via resolução do sistema
e do polinômio característico.
Passo 2
Se
e
, obtemos o sistema
Passo 3
Substituindo
na segunda equação, vem
Como
, pelo menos uma de
é não nula e podemos dividir por
, obtendo
Passo 4
Em
não há solução real para
, logo não existem valores próprios nem vetores próprios reais. Se estendermos o corpo dos escalares a
, então os valores próprios são
Para
, da relação
segue
, de modo que um vetor próprio é
Para
, segue
e um vetor próprio é
Resposta
Não existem valores próprios reais nem vetores próprios reais em
.
Em , os valores próprios são
Em
com vetores próprios proporcionais a
respectivamente.