Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformaçōes lineares:
$$T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(\mathrm{y},-\mathrm{x})

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por
T(x,y) = (y,\,-x)
e pede os valores próprios \lambda e vetores próprios v\neq0 tais que
T(v)=\lambda v.
O conteúdo é cálculo de valores e vetores próprios via resolução do sistema T(x,y)=\lambda(x,y) e do polinômio característico.

Passo 2

Se v=(x,y)\neq(0,0) e T(v)=\lambda v, obtemos o sistema
y = \lambda x,
-\,x = \lambda y.

Passo 3

Substituindo y=\lambda x na segunda equação, vem
-\,x = \lambda(\lambda x) = \lambda^2 x.
Como v\neq0, pelo menos uma de x,y é não nula e podemos dividir por x, obtendo
-1 = \lambda^2 \quad\Longrightarrow\quad \lambda^2 + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = i,\; \lambda = -\,i.

Passo 4

Em \mathbb{R}^2 não há solução real para \lambda^2+1=0, logo não existem valores próprios nem vetores próprios reais. Se estendermos o corpo dos escalares a \mathbb{C}, então os valores próprios são
\lambda = i \quad\text{e}\quad \lambda = -\,i.
Para \lambda = i, da relação y=\lambda x segue y = i x, de modo que um vetor próprio é
v_1 = \begin{pmatrix}1 \\[6pt] i\end{pmatrix}.
Para \lambda = -\,i, segue y=-\,i x e um vetor próprio é
v_2 = \begin{pmatrix}1 \\[6pt] -\,i\end{pmatrix}.]

Resposta

Não existem valores próprios reais nem vetores próprios reais em \mathbb{R}^2.
Em \mathbb{C}^2, os valores próprios são
\lambda = i,\quad \lambda = -\,i
com vetores próprios proporcionais a
\begin{pmatrix}1\\\ i\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \begin{pmatrix}1\\\\ -\,i\end{pmatrix},
respectivamente.

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