Questão 11. Considere a base ortonormal positiva B=\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}, em que \vec{i}=(1,0,0), \vec{j}=(0,1,0) e \vec{k}=(0,0,1). Encontre o produto vetorial dos vetores \vec{u} e \vec{v}, isto é \vec{u} \wedge \vec{v}, em cada caso:
\vec{u}=5 \vec{i}+4 \vec{j}+3 \vec{k} \mathrm{e} \vec{v}=\vec{i}+\vec{k}.

Passo 1

O enunciado pede o produto vetorial \vec u \wedge \vec v de dois vetores em \mathbb{R}^3 usando a base ortonormal padrão B=\{\vec{i},\vec{j},\vec{k}\}. O conteúdo aqui é a definição de produto vetorial por determinante de uma matriz 3\times3.

Passo 2

Lembrando que, para
\vec u = (u_1,u_2,u_3) \quad\text{e}\quad \vec v = (v_1,v_2,v_3),
o produto vetorial é dado por
\vec u \wedge \vec v = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\[6pt] u_1 & u_2 & u_3 \\[6pt] v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}.]

Passo 3

Aqui temos \vec u=(5,4,3) e \vec v=(1,0,1). Calculando a matriz:
Componente \vec i:
u_2\,v_3 - u_3\,v_2 = 4\cdot1 - 3\cdot0 = 4.
Componente \vec j:
-\bigl(u_1\,v_3 - u_3\,v_1\bigr) = -\bigl(5\cdot1 - 3\cdot1\bigr) = -(5-3) = -2.
Componente \vec k:
u_1\,v_2 - u_2\,v_1 = 5\cdot0 - 4\cdot1 = -4.
Portanto,
\vec u \wedge \vec v = 4\,\vec i \;-\;2\,\vec j \;-\;4\,\vec k.

Resposta

\vec u \wedge \vec v = 4\,\vec i - 2\,\vec j - 4\,\vec k.

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