2-Questão: Seja C o segmento de reta de \mathbb{R}^{3} que liga os pontos P_{1}=(1,0,3) e P_{2}= (2,0,1).
a) Parametrize a superfície S obtida como rotação de C em torno do eixo z.
b) Calcule \iint_{S}(x+z) d S.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Parametrizar a superfície S obtida ao rotacionar o segmento de reta C que liga P_{1}=(1,0,3) a P_{2}=(2,0,1) em torno do eixo z.
(b) Calcular a integral de superfície \iint_{S}(x+z)\,dS.
Informações dadas que vamos usar:
P_{1}=(1,0,3),\qquad P_{2}=(2,0,1).
O segmento C está no plano y=0 (eixo x-z), e a rotação em torno do eixo z leva cada ponto (x,0,z) a um círculo de raio |x| na altura z. Não há outras informações faltando.
Passo 2
Primeiro vamos parametrizar o segmento C\). Uma parametrização natural do segmento que vai de \(P_{1}\) a \(P_{2}\) é por um parâmetro \(s\in[0,1]\) que percorre da primeira à segunda ponta:
\[\text{Para }s\in[0,1]:\qquad \begin{cases} x(s)=1+s,\\[4pt] y(s)=0,\\[4pt] z(s)=3-2s. \end{cases}
Explicação didática: isso vem de escrever o ponto genérico como P_1 + s(P_2-P_1)\]. Aqui \(P_2-P_1=(1,0,-2), então x=1+s e z=3-2s. Esse traço descreve a reta entre x=1 e x=2 com altura z variando linearmente de 3 a 1.]
Passo 3
Agora parametrizamos a superfície S obtida ao girar C em torno do eixo z. Ao rotacionar um ponto (x,0,z) um ângulo \theta em torno do eixo z obtemos (x\cos\theta,x\sin\theta,z). Tomando s\in[0,1] da parametrização do segmento e \theta\in[0,2\pi], obtemos a parametrização da superfície:
Comentário didático: cada círculo gerado para um s fixo tem raio 1+s e altura z=3-2s. Variando s percorremos a direção radial (do raio 1 até o raio 2) e variando \theta damos a volta completa.
Passo 4
Para calcular a integral de superfície usamos a fórmula (aula rápida): se \mathbf{r}(u,v) é uma parametrização de uma superfície, então
Explicação breve da álgebra: usando a matriz determinante para o produto vetorial chega-se aos componentes indicados; fatoramos 1+s porque aparece em duas entradas. A norma desse vetor é