2-Questão: Seja C o segmento de reta de \mathbb{R}^{3} que liga os pontos P_{1}=(1,0,3) e P_{2}= (2,0,1).
a) Parametrize a superfície S obtida como rotação de C em torno do eixo z.
b) Calcule \iint_{S}(x+z) d S.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Parametrizar a superfície S obtida ao rotacionar o segmento de reta C que liga P_{1}=(1,0,3) a P_{2}=(2,0,1) em torno do eixo z.
  • (b) Calcular a integral de superfície \iint_{S}(x+z)\,dS.
Informações dadas que vamos usar:
P_{1}=(1,0,3),\qquad P_{2}=(2,0,1).
O segmento C está no plano y=0 (eixo x- z), e a rotação em torno do eixo z leva cada ponto (x,0,z) a um círculo de raio |x| na altura z. Não há outras informações faltando.

Passo 2

Primeiro vamos parametrizar o segmento C\). Uma parametrização natural do segmento que vai de \(P_{1}\) a \(P_{2}\) é por um parâmetro \(s\in[0,1]\) que percorre da primeira à segunda ponta: \[\text{Para }s\in[0,1]:\qquad \begin{cases} x(s)=1+s,\\[4pt] y(s)=0,\\[4pt] z(s)=3-2s. \end{cases}
Explicação didática: isso vem de escrever o ponto genérico como P_1 + s(P_2-P_1)\]. Aqui \(P_2-P_1=(1,0,-2), então x=1+s e z=3-2s. Esse traço descreve a reta entre x=1 e x=2 com altura z variando linearmente de 3 a 1.]

Passo 3

Agora parametrizamos a superfície S obtida ao girar C em torno do eixo z. Ao rotacionar um ponto (x,0,z) um ângulo \theta em torno do eixo z obtemos (x\cos\theta,x\sin\theta,z). Tomando s\in[0,1] da parametrização do segmento e \theta\in[0,2\pi], obtemos a parametrização da superfície:
\boxed{\,\mathbf{r}(s,\theta)=\big((1+s)\cos\theta,\\ (1+s)\sin\theta,\\\ 3-2s\big),\quad 0\le s\le1,\\\ 0\le\theta\le2\pi\,.}
Comentário didático: cada círculo gerado para um s fixo tem raio 1+s e altura z=3-2s. Variando s percorremos a direção radial (do raio 1 até o raio 2) e variando \theta damos a volta completa.

Passo 4

Para calcular a integral de superfície usamos a fórmula (aula rápida): se \mathbf{r}(u,v) é uma parametrização de uma superfície, então
dS = \big\lVert \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\rVert\,du\,dv,
onde \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v são as derivadas parciais e \times é o produto vetorial. Aqui u\equiv s e v\equiv\theta.
Calculemos as derivadas parciais:
\mathbf{r}_s(s,\theta)=\big(\cos\theta,\\ \sin\theta,\\\ -2\big), \qquad \mathbf{r}_\theta(s,\theta)=\big(-(1+s)\sin\theta,\\ (1+s)\cos\theta,\\\ 0\big).

Passo 5

Agora calculamos o produto vetorial \mathbf{r}_s\times\mathbf{r}_\theta. Fazendo a conta:
\mathbf{r}_s\times\mathbf{r}_\theta =(1+s)\big(2\cos\theta,\\\ 2\sin\theta,\\\ 1\big).
Explicação breve da álgebra: usando a matriz determinante para o produto vetorial chega-se aos componentes indicados; fatoramos 1+s porque aparece em duas entradas. A norma desse vetor é
\big\lVert \mathbf{r}_s\times\mathbf{r}_\theta\big\rVert =(1+s)\sqrt{(2\cos\theta)^2+(2\sin\theta)^2+1^2} =(1+s)\sqrt{4(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+1} =(1+s)\sqrt{5}.
Observação prática: \cos^2\theta+\sin^2\theta=1, por isso o resultado simplifica bem.

Passo 6

Montamos a integral de superfície. Pela parametrização temos x=(1+s)\cos\theta e z=3-2s. Então a integral pedida é
\iint_{S}(x+z)\,dS =\int_{s=0}^{1}\int_{\theta=0}^{2\pi}\big((1+s)\cos\theta + (3-2s)\big)\,(1+s)\sqrt{5}\;d\theta\,ds.
Agora usamos linearidade e a simetria em \theta: o termo que contém \cos\theta tem integral nula sobre [0,2\pi], porque
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0.
Portanto só sobra o termo independente de \theta. Isso reduz a integral a
\iint_{S}(x+z)\,dS =\sqrt{5}\int_{s=0}^{1}\int_{\theta=0}^{2\pi}(3-2s)(1+s)\;d\theta\,ds =2\pi\sqrt{5}\int_{0}^{1}(3-2s)(1+s)\;ds.

Passo 7

Calculamos a integral em s. Primeiro expandimos o integrando:
(3-2s)(1+s)=3+s-2s^{2}.
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{1}(3+s-2s^{2})\,ds =\Big[3s+\tfrac{1}{2}s^{2}-\tfrac{2}{3}s^{3}\Big]_{0}^{1} =3+\tfrac{1}{2}-\tfrac{2}{3}=\tfrac{17}{6}.
Agora substituímos na expressão anterior:
\iint_{S}(x+z)\,dS =2\pi\sqrt{5}\cdot\tfrac{17}{6} =\tfrac{17\pi\sqrt{5}}{3}.

Resposta

\mathbf{r}(s,\theta)=\big((1+s)\cos\theta,\\ (1+s)\sin\theta,\\\ 3-2s\big),\\\ 0\le s\le1,\\\ 0\le\theta\le2\pi
\displaystyle \iint_{S}(x+z)\,dS=\tfrac{17\pi\sqrt{5}}{3}

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