Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove as suas respostas.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{6^{n}}{5^{n+1}}

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{6^{n}}{5^{n+1}}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, e que provemos a resposta.
Informações dadas que vamos usar: para cada n o termo geral é a_n = (-1)^{n-1}\dfrac{6^{n}}{5^{n+1}}. Não há outras condições ocultas; a série é a soma dos a_n para n=1,2,\dots.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral de forma mais simples para visualizar o comportamento:
a_n = (-1)^{n-1}\frac{6^{n}}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}\,(-1)^{n-1}\left(\frac{6}{5}\right)^{\!n}.
Isto significa que a_n é um fator constante \dfrac{1}{5} vezes uma sequência alternada com razão \dfrac{6}{5}.

Passo 3

Primeiro lembrete teórico (teste do termo geral): se uma série \sum a_n converge, então necessariamente
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Portanto, se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 (ou não existe), a série diverge. Este é um teste simples e muito usado: é condição necessária (mas não suficiente) para convergência.

Passo 4

Calculemos o limite de a_n. Como escrevemos em forma fatorada,
a_n = \frac{1}{5}(-1)^{n-1}\left(\frac{6}{5}\right)^{\!n}.
A parte \left(\dfrac{6}{5}\right)^{\!n} cresce sem limite, porque \dfrac{6}{5}>1. Então
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{6}{5}\right)^{\!n} = +\infty.
Multiplicar por \dfrac{1}{5} apenas escala, e multiplicar por (-1)^{n-1} torna os sinais alternados, mas não impede o módulo de crescer sem limite. Logo a_n não tende a 0; mais precisamente os termos a_n não têm limite finito (os valores oscilam com magnitude que tende a +\infty).

Passo 5

Pelo teste do termo geral (Passo 3), como \lim_{n\to\infty} a_n não é 0, concluímos que a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{6^{n}}{5^{n+1}}
é divergente. Isto já resolve a classificação principal: a série não converge.

Passo 6

Para ser completo, verificamos também a parte de convergência absoluta: a série é absolutamente convergente se a série das magnitudes convergir, isto é, se
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{6^{n}}{5^{n+1}}
convergir. Note que
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = \frac{1}{5}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{6}{5}\right)^{\!n}.
Isto é uma série geométrica com razão r=\dfrac{6}{5}. Lembrete teórico (série geométrica): a série \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} converge se, e somente se, |r|<1. Aqui |r|=\dfrac{6}{5}>1, portanto a série geométrica diverge. Assim \sum |a_n| diverge, ou seja, a série não é absolutamente convergente.

Passo 7

Resumo do que fizemos e conclusão lógica: os termos a_n não tendem a zero, logo a série original diverge (teste do termo geral). Além disso, a série das magnitudes é uma geométrica com razão maior que 1, então também diverge; portanto a série não é absolutamente convergente. Não existe convergência condicional porque nem a série original converge.

Resposta

Divergente

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