Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove as suas respostas.
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, e que provemos a resposta.
Informações dadas que vamos usar: para cada o termo geral é
. Não há outras condições ocultas; a série é a soma dos
para
.
Informações dadas que vamos usar: para cada
Passo 2
Vamos reescrever o termo geral de forma mais simples para visualizar o comportamento:
Isto significa que
é um fator constante
vezes uma sequência alternada com razão
.
Passo 3
Primeiro lembrete teórico (teste do termo geral): se uma série
converge, então necessariamente
Portanto, se
(ou não existe), a série diverge. Este é um teste simples e muito usado: é condição necessária (mas não suficiente) para convergência.
Passo 4
Calculemos o limite de
. Como escrevemos em forma fatorada,
A parte
cresce sem limite, porque
. Então
Multiplicar por
apenas escala, e multiplicar por
torna os sinais alternados, mas não impede o módulo de crescer sem limite. Logo
não tende a
; mais precisamente os termos
não têm limite finito (os valores oscilam com magnitude que tende a
).
Passo 5
Pelo teste do termo geral (Passo 3), como
não é
, concluímos que a série
é divergente. Isto já resolve a classificação principal: a série não converge.
Passo 6
Para ser completo, verificamos também a parte de convergência absoluta: a série é absolutamente convergente se a série das magnitudes convergir, isto é, se
convergir. Note que
Isto é uma série geométrica com razão
. Lembrete teórico (série geométrica): a série
converge se, e somente se,
. Aqui
, portanto a série geométrica diverge. Assim
diverge, ou seja, a série não é absolutamente convergente.
Passo 7
Resumo do que fizemos e conclusão lógica: os termos
não tendem a zero, logo a série original diverge (teste do termo geral). Além disso, a série das magnitudes é uma geométrica com razão maior que
, então também diverge; portanto a série não é absolutamente convergente. Não existe convergência condicional porque nem a série original converge.
Resposta
Divergente