Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove as suas respostas.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, com prova. Informações relevantes que temos:
é o termo geral. As duas perguntas implicam verificar (1) a convergência da série de valores absolutos
e (2) a convergência da série alternada original, possivelmente usando um teste adequado.
Passo 2
Definição e estratégia para testar convergência absoluta. Uma série
é absolutamente convergente se
converge. Aqui vamos analisar
Para comparar com séries conhecidas, note que séries do tipo
(séries
) convergem se e somente se
. A nossa sequência de termos tem comportamento assintótico parecido com
(que corresponde a
, divergente). Vamos fazer um teste de comparação limite (limit comparison test) com
Calcule o limite
Agora simplificamos a raiz:
Portanto
Pelo teste da comparação por limites, como
é positivo e finito,
tem o mesmo comportamento de
. Como
é uma série
com
, ela diverge. Logo
ou seja, a série original não é absolutamente convergente.
Passo 3
Verificação do limite dos termos em módulo (necessário para aplicar o teste de Leibniz). Mostro que
Uma forma direta é escrever
Como
tende para
e
, o quociente tende a
. Portanto os módulos dos termos vão a zero, condição necessária para a convergência de qualquer série.
Passo 4
Verificação de monotonicidade (condição restante para o teste de Leibniz). Defina a função contínua
Se
for decrescente para
, então a sequência
é decrescente a partir de
. Calcule a derivada de
. Escrevendo
e aplicando a regra do quociente (ou produto + cadeia) obtemos
Colocando em um único numerador:
Para
temos
e o denominador é positivo, logo
para todo
. Assim
é decrescente em
, e portanto a sequência
é decrescente para
. Isso garante a monotonicidade necessária.
Passo 5
Aplicação do teste de séries alternadas (teste de Leibniz) e conclusão final. O teste de Leibniz diz: se
é uma sequência de números positivos, decrescente (eventualmente) e tal que
, então a série
converge. Tomando
verificamos:
-
para todo , -
é decrescente para (mostrado no passo anterior), -
(mostrado no passo 3).
Portanto a série alternada
converge. Como no Passo 2 mostramos que a série de módulos diverge, a série original não é absolutamente convergente. Concluímos que a convergência é condicional.
Resposta
Condicionalmente convergente.