Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove as suas respostas.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\sqrt{2 n-1}}{n}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\sqrt{2n-1}}{n}
e pede para determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, com prova. Informações relevantes que temos:
a_n = (-1)^{n}\frac{\sqrt{2n-1}}{n}
é o termo geral. As duas perguntas implicam verificar (1) a convergência da série de valores absolutos \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{2n-1}}{n} e (2) a convergência da série alternada original, possivelmente usando um teste adequado.

Passo 2

Definição e estratégia para testar convergência absoluta. Uma série \sum a_n é absolutamente convergente se \sum |a_n| converge. Aqui vamos analisar
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{2n-1}}{n}.
Para comparar com séries conhecidas, note que séries do tipo \sum \dfrac{1}{n^p} (séries p) convergem se e somente se p>1. A nossa sequência de termos tem comportamento assintótico parecido com 1/\sqrt{n} (que corresponde a p=\tfrac12, divergente). Vamos fazer um teste de comparação limite (limit comparison test) com
b_n=\frac{1}{\sqrt{n}}.
Calcule o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{\sqrt{2n-1}}{n}}{\dfrac{1}{\sqrt{n}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2n-1}}{n}\cdot\sqrt{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{(2n-1)n}}{n}.
Agora simplificamos a raiz:
\frac{\sqrt{(2n-1)n}}{n}=\frac{\sqrt{2n^2-n}}{n}=\sqrt{2-\frac{1}{n}}.
Portanto
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt{2-\frac{1}{n}}=\sqrt{2}\in(0,\infty).
Pelo teste da comparação por limites, como L é positivo e finito, \sum \dfrac{\sqrt{2n-1}}{n} tem o mesmo comportamento de \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}}. Como \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}} é uma série p com p=\tfrac12<1, ela diverge. Logo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{2n-1}}{n}\quad\text{diverge},
ou seja, a série original não é absolutamente convergente.

Passo 3

Verificação do limite dos termos em módulo (necessário para aplicar o teste de Leibniz). Mostro que
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2n-1}}{n}=0.
Uma forma direta é escrever
\frac{\sqrt{2n-1}}{n}=\frac{\sqrt{n}\,\sqrt{2-\tfrac{1}{n}}}{n}=\frac{\sqrt{2-\tfrac{1}{n}}}{\sqrt{n}}.
Como \sqrt{2-\tfrac{1}{n}} tende para \sqrt{2} e \sqrt{n}\to\infty, o quociente tende a 0. Portanto os módulos dos termos vão a zero, condição necessária para a convergência de qualquer série.

Passo 4

Verificação de monotonicidade (condição restante para o teste de Leibniz). Defina a função contínua
f(x)=\frac{\sqrt{2x-1}}{x},\qquad x\ge 1.
Se f for decrescente para x\ge 2, então a sequência b_n=\dfrac{\sqrt{2n-1}}{n} é decrescente a partir de n=2. Calcule a derivada de f. Escrevendo f(x)=(2x-1)^{1/2}x^{-1} e aplicando a regra do quociente (ou produto + cadeia) obtemos
f'(x)=\frac{\big(\tfrac{1}{2}(2x-1)^{-1/2}\cdot 2\big)x - (2x-1)^{1/2}\cdot 1}{x^2} =\frac{\dfrac{x}{\sqrt{2x-1}}-\sqrt{2x-1}}{x^2}.
Colocando em um único numerador:
f'(x)=\frac{x-(2x-1)}{x^2\sqrt{2x-1}}=\frac{1-x}{x^2\sqrt{2x-1}}.
Para x>1 temos 1-x<0 e o denominador é positivo, logo f'(x)<0 para todo x>1. Assim f é decrescente em (1,\infty), e portanto a sequência b_n=\dfrac{\sqrt{2n-1}}{n} é decrescente para n\ge 2. Isso garante a monotonicidade necessária.

Passo 5

Aplicação do teste de séries alternadas (teste de Leibniz) e conclusão final. O teste de Leibniz diz: se (b_n) é uma sequência de números positivos, decrescente (eventualmente) e tal que \lim_{n\to\infty} b_n = 0, então a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n b_n
converge. Tomando b_n=\dfrac{\sqrt{2n-1}}{n} verificamos:
  • b_n>0 para todo n,
  • b_n é decrescente para n\ge 2 (mostrado no passo anterior),
  • \lim_{n\to\infty} b_n = 0 (mostrado no passo 3).
Portanto a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\sqrt{2n-1}}{n}
converge. Como no Passo 2 mostramos que a série de módulos diverge, a série original não é absolutamente convergente. Concluímos que a convergência é condicional.

Resposta

Condicionalmente convergente.

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