Questão 2. Seja a curva
a interseção da parte do cilindro
com o campo vetorial
.
Passo 1
O enunciado fornece a curva
descrita pela interseção do cilindro
com o campo vetorial
A pergunta (que vou resolver aqui) é calcular a integral de linha fechada da componente tangencial do campo ao redor de
, isto é
Observação: a curva
é a interseção do cilindro com o plano
(portanto
é o círculo
). Em
temos
, então a integral reduz-se à integral de linha na planície
das componentes
e
(explico isso nos passos seguintes).
Passo 2
Por que podemos usar Green (e o que é Green)?
Green transforma uma integral de linha fechada num plano numa integral dupla sobre a região interior. Para uma curva fechada simples no plano
, orientada positivamente (anti-horário), e um campo
definido no plano, temos a fórmula de Green:
Green transforma uma integral de linha fechada num plano numa integral dupla sobre a região interior. Para uma curva fechada simples
onde
é a região interior de
. Aqui
e
são as primeiras duas componentes de
avaliadas em
, porque
ao percorrer
em
. Vou explicar passo a passo como aplicar isso ao nosso caso.
Passo 3
Primeiro reduzimos o campo para o plano
. Substituindo
nas componentes de
obtemos
(Nota: os termos com potências de
desaparecem quando
.)
Agora precisamos do integrando de Green:
Calculemos
passo a passo:
Como
, isso dá
Agora
:
Como
, isso dá
Subtraindo:
Portanto o integrando simplifica-se tremendamente: é apenas
.
Passo 4
Agora aplicamos Green:
onde
é a região interior do círculo
no plano
.
Para facilitar a integral, faço a mudança de variáveis de translação centrando o disco na origem: defina
Então
e a região
vira o disco unitário
. Além disso
. Assim
Passo 5
Separe a integral em duas:
- O primeiro termo
é zero porque o integrando é uma função ímpar em e o domínio (o disco centrado na origem) é simétrico em relação ao eixo ; portanto as contribuições positives e negativas cancelam. - O segundo termo é simplesmente a área do disco unitário:
Logo
Passo 6
Comentário sobre orientação: a aplicação de Green que usei assume que
é percorrida no sentido positivo (anti-horário). Assim o valor obtido
corresponde a essa orientação. Se a orientação pedida na questão fosse o sentido horário, o resultado teria sinal invertido (
). Se a orientação não foi especificada, o usual é assumir sentido positivo; estou adotando essa convenção.