Questão 2. Seja a curva C a interseção da parte do cilindro
x^{2}+(y-1)^{2}=1
com o campo vetorial \left(y^{2} z^{3}+y^{3} \cos \left(x y^{3}\right), x y+2 x y z^{3}+3 x y^{2} \cos \left(x y^{3}\right), z+3 x y^{2} z^{2}\right).

Passo 1

O enunciado fornece a curva C descrita pela interseção do cilindro
x^{2}+(y-1)^{2}=1
com o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(y^{2} z^{3}+y^{3}\cos(xy^{3}),\; x y+2 x y z^{3}+3 x y^{2}\cos(xy^{3}),\; z+3 x y^{2} z^{2}\bigr).
A pergunta (que vou resolver aqui) é calcular a integral de linha fechada da componente tangencial do campo ao redor de C, isto é
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Observação: a curva C é a interseção do cilindro com o plano z=0 (portanto C é o círculo \{(x,y,0)\mid x^{2}+(y-1)^{2}=1\}). Em C temos z=0, então a integral reduz-se à integral de linha na planície z=0 das componentes P(x,y)=y^{3}\cos(xy^{3}) e Q(x,y)=xy+3xy^{2}\cos(xy^{3}) (explico isso nos passos seguintes).

Passo 2

Por que podemos usar Green (e o que é Green)?
Green transforma uma integral de linha fechada num plano numa integral dupla sobre a região interior. Para uma curva fechada simples C no plano z=0, orientada positivamente (anti-horário), e um campo \mathbf{F}=(P,Q) definido no plano, temos a fórmula de Green:
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA,
onde D é a região interior de C. Aqui P e Q são as primeiras duas componentes de \mathbf{F} avaliadas em z=0, porque dz=0 ao percorrer C em z=0. Vou explicar passo a passo como aplicar isso ao nosso caso.

Passo 3

Primeiro reduzimos o campo para o plano z=0. Substituindo z=0 nas componentes de \mathbf{F} obtemos
P(x,y)=y^{3}\cos(xy^{3}), \qquad Q(x,y)=xy+3xy^{2}\cos(xy^{3}).
(Nota: os termos com potências de z desaparecem quando z=0.)
Agora precisamos do integrando de Green:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}.
Calculemos \frac{\partial Q}{\partial x} passo a passo:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xy+3xy^{2}\cos(xy^{3})\bigr) = y \;+\; 3y^{2}\cos(xy^{3}) \;+\; 3xy^{2}\cdot\bigl(-\sin(xy^{3})\bigr)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy^{3}).
Como \frac{\partial}{\partial x}(xy^{3})=y^{3}, isso dá
\frac{\partial Q}{\partial x}=y+3y^{2}\cos(xy^{3})-3xy^{5}\sin(xy^{3}).
Agora \frac{\partial P}{\partial y}:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{3}\cos(xy^{3})\bigr) =3y^{2}\cos(xy^{3}) \;+\; y^{3}\cdot\bigl(-\sin(xy^{3})\bigr)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy^{3}).
Como \frac{\partial}{\partial y}(xy^{3})=3xy^{2}, isso dá
\frac{\partial P}{\partial y}=3y^{2}\cos(xy^{3})-3xy^{5}\sin(xy^{3}).
Subtraindo:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = \bigl(y+3y^{2}\cos(xy^{3})-3xy^{5}\sin(xy^{3})\bigr) -\bigl(3y^{2}\cos(xy^{3})-3xy^{5}\sin(xy^{3})\bigr) = y.
Portanto o integrando simplifica-se tremendamente: é apenas y.

Passo 4

Agora aplicamos Green:
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{D} y\,dA,
onde D é a região interior do círculo \{(x,y)\mid x^{2}+(y-1)^{2}\le 1\} no plano z=0.
Para facilitar a integral, faço a mudança de variáveis de translação centrando o disco na origem: defina
u=x,\qquad v=y-1.
Então dA=du\,dv e a região D vira o disco unitário \{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 1\}. Além disso y = v+1. Assim
\iint_{D} y\,dA = \iint_{u^{2}+v^{2}\le 1} (v+1)\,du\,dv.

Passo 5

Separe a integral em duas:
\iint_{u^{2}+v^{2}\le 1} (v+1)\,du\,dv = \iint_{u^{2}+v^{2}\le 1} v\,du\,dv \;+\; \iint_{u^{2}+v^{2}\le 1} 1\,du\,dv.
  • O primeiro termo \iint v\,du\,dv é zero porque o integrando v é uma função ímpar em v e o domínio (o disco centrado na origem) é simétrico em relação ao eixo u; portanto as contribuições positives e negativas cancelam.
  • O segundo termo é simplesmente a área do disco unitário:
\iint_{u^{2}+v^{2}\le 1} 1\,du\,dv = \pi\cdot 1^{2}=\pi.
Logo
\iint_{D} y\,dA = 0 + \pi = \pi.

Passo 6

Comentário sobre orientação: a aplicação de Green que usei assume que C é percorrida no sentido positivo (anti-horário). Assim o valor obtido \pi corresponde a essa orientação. Se a orientação pedida na questão fosse o sentido horário, o resultado teria sinal invertido ( -\pi). Se a orientação não foi especificada, o usual é assumir sentido positivo; estou adotando essa convenção.

Resposta

\pi

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