- Seja
. Verifique se o campo é conservativo e, em caso afirmativo, calcule a integral entre
e
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
.
As perguntas são:
As perguntas são:
- Verificar se o campo é conservativo.
- Se for conservativo, calcular a integral de linha de
entre os pontos e .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O campo está explicitamente definido para qualquer ponto
(ou seja, definido em todo ). - Os pontos inicial e final estão em
, mas o campo é dado em todas as direções. - Componentes do campo: primeira componente
, segunda componente , terceira componente .
Passo 2
O que significa “campo conservativo” e como verificar na prática:
- Um campo vetorial
é conservativo se existir uma função potencial tal que , isto é . - Uma forma prática (quando o domínio é simplesmente conexo, como
) é verificar se o rotacional é nulo: . Se em todo o domínio e o domínio for simplesmente conexo, então é conservativo.
Agora aplicamos isso ao campo dado.
Passo 3
Calcular o rotacional
. Escrevendo
. O rotacional em coordenadas cartesianas tem componentes
Agora calculamos cada parcial:
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
-
.
.
Logo primeira componente:. -
.
.
Logo segunda componente:. -
.
.
Logo terceira componente:.
Portanto
Passo 5
Como o rotacional é nulo em todo
e
é simplesmente conexo, concluímos que
é conservativo. Agora vamos encontrar explicitamente uma função potencial
tal que
. Isso nos servirá para calcular a integral de linha facilmente.
Passo 6
Resolver o sistema de equações parciais
Integramos a primeira equação em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
e
.
Passo 7
Usamos a segunda equação para determinar
. Diferenciando a expressão obtida para
em relação a
:
Pelo enunciado essa derivada deve ser
. Assim
Logo
não depende de
; escrevemos
.
Passo 8
Agora usamos a terceira equação
. Da expressão
temos
Portanto
, o que implica
é constante. Assim uma função potencial válida é
Podemos escolher a constante
sem perda de generalidade, ficando
.
Passo 9
Usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha (Teorema da Gradiente): para um campo conservativo, a integral de linha de
ao longo de qualquer curva que vá de
a
vale
. Portanto, para os pontos dados
e
,
Calculemos:
Logo a integral vale
.
Resposta
O campo é conservativo.
A integral de linha entre e
vale
.
A integral de linha entre