1. Seja \mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\left(2 \mathrm{xy}, \mathrm{x}^{2}, 0\right). Verifique se o campo é conservativo e, em caso afirmativo, calcule a integral entre (0,0,0) e (1,1,0).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \mathrm{F}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=\left(2\mathrm{xy},\mathrm{x}^{2},0\right).
As perguntas são:
  1. Verificar se o campo é conservativo.
  2. Se for conservativo, calcular a integral de linha de \mathrm{F} entre os pontos (0,0,0) e (1,1,0).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O campo está explicitamente definido para qualquer ponto (x,y,z) (ou seja, definido em todo \mathbb{R}^3).
  • Os pontos inicial e final estão em z=0, mas o campo é dado em todas as direções.
  • Componentes do campo: primeira componente 2xy, segunda componente x^2, terceira componente 0.

Passo 2

O que significa “campo conservativo” e como verificar na prática:
  • Um campo vetorial \mathrm{F}=(P,Q,R) é conservativo se existir uma função potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla \varphi = \mathrm{F}, isto é \displaystyle \frac{\partial \varphi}{\partial x}=P,\; \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q,\; \frac{\partial \varphi}{\partial z}=R.
  • Uma forma prática (quando o domínio é simplesmente conexo, como \mathbb{R}^3) é verificar se o rotacional é nulo: \nabla\times\mathrm{F}=\mathbf{0}. Se \nabla\times\mathrm{F}=\mathbf{0} em todo o domínio e o domínio for simplesmente conexo, então \mathrm{F} é conservativo.
    Agora aplicamos isso ao campo dado.

Passo 3

Calcular o rotacional \nabla\times\mathrm{F}. Escrevendo P(x,y,z)=2xy,\;Q(x,y,z)=x^2,\;R(x,y,z)=0. O rotacional em coordenadas cartesianas tem componentes
\nabla\times\mathrm{F} = \left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right).
Agora calculamos cada parcial:

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}0 = 0.
    \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}x^2 = 0.
    Logo primeira componente: 0-0=0.
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(2xy)=0.
    \displaystyle \frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}0=0.
    Logo segunda componente: 0-0=0.
  • \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}x^2 = 2x.
    \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy) = 2x.
    Logo terceira componente: 2x-2x=0.
Portanto
\nabla\times\mathrm{F} = (0,0,0).

Passo 5

Como o rotacional é nulo em todo \mathbb{R}^3 e \mathbb{R}^3 é simplesmente conexo, concluímos que \mathrm{F} é conservativo. Agora vamos encontrar explicitamente uma função potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\mathrm{F}. Isso nos servirá para calcular a integral de linha facilmente.

Passo 6

Resolver o sistema de equações parciais
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=2xy,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=x^2,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial z}=0.
Integramos a primeira equação em relação a x:
\varphi(x,y,z)=\int 2xy\,dx = x^2 y + g(y,z),
onde g(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z.

Passo 7

Usamos a segunda equação para determinar g. Diferenciando a expressão obtida para \varphi em relação a y:
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = x^2 + \frac{\partial g}{\partial y}(y,z).
Pelo enunciado essa derivada deve ser x^2. Assim
x^2 + \frac{\partial g}{\partial y}(y,z) = x^2 \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}(y,z)=0.
Logo g não depende de y; escrevemos g(y,z)=h(z).

Passo 8

Agora usamos a terceira equação \displaystyle \frac{\partial \varphi}{\partial z}=0. Da expressão \varphi(x,y,z)=x^2 y + h(z) temos
\frac{\partial \varphi}{\partial z} = h'(z)=0.
Portanto h'(z)=0, o que implica h(z) é constante. Assim uma função potencial válida é
\varphi(x,y,z)=x^2 y + C.
Podemos escolher a constante C=0 sem perda de generalidade, ficando \varphi(x,y,z)=x^2 y.

Passo 9

Usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha (Teorema da Gradiente): para um campo conservativo, a integral de linha de \mathrm{F} ao longo de qualquer curva que vá de A a B vale \varphi(B)-\varphi(A). Portanto, para os pontos dados A=(0,0,0) e B=(1,1,0),
\int_{A}^{B} \mathrm{F}\cdot d\mathbf{r} = \varphi(1,1,0)-\varphi(0,0,0).
Calculemos:
\varphi(1,1,0) = 1^2\cdot 1 = 1,\qquad \varphi(0,0,0)=0^2\cdot 0 = 0.
Logo a integral vale 1-0=1.

Resposta

O campo é conservativo.
A integral de linha entre (0,0,0) e (1,1,0) vale \;1.

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