- Para
, calcule a integral de linha sobre
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a integral de linha da campo vetorial
ao longo da curva parametrizada por
para
. Informações dadas que vamos usar:
- O campo vetorial é
. - A curva é dada por
com intervalo de parâmetro . - A integral de linha que queremos é
.
Passo 2
Fórmula que usamos (definição prática): se uma curva é parametrizada por
,
, então a integral de linha do campo vetorial
ao longo de
é
Explicando essa fórmula:
é a posição no espaço quando o parâmetro vale
;
é o vetor velocidade (derivada componente a componente);
é o campo avaliado nos pontos da curva; o produto escalar
combina essas informações num integrando escalar que somamos ao longo do parâmetro.
Passo 3
Calculamos a derivada da parametrização (o vetor velocidade):
Aqui derivamos cada componente de
em relação a
:
.
Passo 4
Avaliamo o campo
ao longo da curva substituindo
:
Expliquei: cada componente do campo vira
porque é produto de duas coordenadas iguais a
.
Passo 5
Fazemos o produto escalar
. Regra do produto escalar em
:
. Então
Esse é o integrando que aparece na integral em
.
Passo 6
Agora integramos no intervalo
:
Aqui usei a primitiva de
que é
e apliquei o teorema fundamental do cálculo.
Passo 7
Observação útil (atalho que costuma salvar tempo na prova): o campo
é conservativo, pois existe uma função potencial
tal que
. Para campos conservativos a integral de linha entre pontos depende só dos extremos; assim
É o mesmo resultado, e esse atalho é ótimo quando o campo é claramente gradiente de alguma função.