1. Para \mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{yz}, \mathrm{xz}, \mathrm{xy}), calcule a integral de linha sobre \mathrm{r}(\mathrm{t})=(\mathrm{t}, \mathrm{t}, \mathrm{t}), 0 \leq \mathrm{t} \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a integral de linha da campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=(yz,\;xz,\;xy) ao longo da curva parametrizada por \mathbf{r}(t)=(t,t,t) para 0\le t\le 1. Informações dadas que vamos usar:
  • O campo vetorial é \mathbf{F}(x,y,z)=(yz,\;xz,\;xy).
  • A curva é dada por \mathbf{r}(t)=(t,t,t) com intervalo de parâmetro t\in[0,1].
  • A integral de linha que queremos é \displaystyle\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.

Passo 2

Fórmula que usamos (definição prática): se uma curva é parametrizada por \mathbf{r}(t), a\le t\le b, então a integral de linha do campo vetorial \mathbf{F} ao longo de C é
\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.
Explicando essa fórmula: \mathbf{r}(t) é a posição no espaço quando o parâmetro vale t; \mathbf{r}'(t) é o vetor velocidade (derivada componente a componente); \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) é o campo avaliado nos pontos da curva; o produto escalar \cdot combina essas informações num integrando escalar que somamos ao longo do parâmetro.

Passo 3

Calculamos a derivada da parametrização (o vetor velocidade):
\mathbf{r}(t)=(t,t,t)\quad\Rightarrow\quad \mathbf{r}'(t)=(1,1,1).
Aqui derivamos cada componente de \mathbf{r}(t) em relação a t: \tfrac{d}{dt}t=1.

Passo 4

Avaliamo o campo \mathbf{F} ao longo da curva substituindo x=t,\;y=t,\;z=t:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=(yz,\;xz,\;xy)=(t\cdot t,\;t\cdot t,\;t\cdot t)=(t^2,\;t^2,\;t^2).
Expliquei: cada componente do campo vira t^2 porque é produto de duas coordenadas iguais a t.

Passo 5

Fazemos o produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t). Regra do produto escalar em \mathbb{R}^3: (a,b,c)\cdot(u,v,w)=au+bv+cw. Então
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)= (t^2,t^2,t^2)\cdot(1,1,1)=t^2\cdot 1+t^2\cdot 1+t^2\cdot 1=3t^2.
Esse é o integrando que aparece na integral em t.

Passo 6

Agora integramos no intervalo t\in[0,1]:
\int_0^1 3t^2\,dt = 3\int_0^1 t^2\,dt = 3\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1 = 3\cdot\frac{1}{3}-3\cdot 0 = 1.
Aqui usei a primitiva de t^2 que é \tfrac{t^3}{3} e apliquei o teorema fundamental do cálculo.

Passo 7

Observação útil (atalho que costuma salvar tempo na prova): o campo \mathbf{F} é conservativo, pois existe uma função potencial \varphi(x,y,z)=xyz tal que \nabla\varphi=(\phi_x,\phi_y,\phi_z)=(yz,\;xz,\;xy)=\mathbf{F}. Para campos conservativos a integral de linha entre pontos depende só dos extremos; assim
\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(\mathbf{r}(1))-\varphi(\mathbf{r}(0))= (1\cdot1\cdot1)-(0\cdot0\cdot0)=1.
É o mesmo resultado, e esse atalho é ótimo quando o campo é claramente gradiente de alguma função.

Resposta

1

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