Questão 2. Seja a curva C a interseção da parte do cilindro
x^{2}+(y-1)^{2}=1, x \geq 0
com o plano y-z=0, orientada no sentido de crescimento de z. Calcule a integral de linha do campo vetorial \int_{C} \mathbf{F} d s, onde
\mathbf{F}(x, y, z)=\left(y^{2} z^{3}+y^{3} \cos \left(x y^{3}\right), x y+2 x y z^{3}+3 x y^{2} \cos \left(x y^{3}\right), z+3 x y^{2} z^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral de linha da curva C da parte do cilindro
x^{2}+(y-1)^{2}=1,\quad x\ge 0
intersectada com o plano y-z=0, orientada no sentido de crescimento de z. O campo vetorial dado é
\mathbf{F}(x,y,z)=\left(y^{2} z^{3}+y^{3}\cos\bigl(xy^{3}\bigr),\; x y+2 x y z^{3}+3 x y^{2}\cos\bigl(xy^{3}\bigr),\; z+3 x y^{2} z^{2}\right).
As informações relevantes que temos são:
\begin{aligned} &\text{Curva: } C=\{(x,y,z)\mid x^{2}+(y-1)^{2}=1,\\ x\ge0,\\ z=y\},\\\ &\text{Orientação: sentido de crescimento de } z \\ (\text{portanto de } y\text{, pois }z=y),\\\ &\text{Campo: } \mathbf{F}(x,y,z) \text{ dado acima}.\\\ \end{aligned}çã
A tarefa final é calcular \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} (a notação \mathbf{F}\,d s do enunciado corresponde aqui ao integral de linha de \mathbf{F} ao longo de C, i.e. \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}).

Passo 2

Parametrizamos a curva C. A projeção no plano xy é o círculo centrado em (0,1) e raio 1:
x^{2}+(y-1)^{2}=1.
Uma parametrização natural desse círculo é
x=\cos t,\qquad y=1+\sin t,
com t variando num intervalo de comprimento 2\pi. A condição x\ge0 significa \cos t\ge0, portanto escolhemos
t\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right].
Como z=y (o plano é y-z=0), temos z=1+\sin t. Verificamos a orientação: para t aumentando em \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] temos \dfrac{d}{dt}y=\cos t\ge0 (no início é zero em -\tfrac{\pi}{2} mas logo positive), logo y (e z) cresce — coincide com a orientação pedida. Assim a parametrização da curva C é
\mathbf{r}(t)=\bigl(\cos t,\;1+\sin t,\;1+\sin t\bigr),\qquad t\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right].

Passo 3

Calculamos \mathbf{r}'(t), escrevemos a integral de linha como integral em t e substituímos \mathbf{F} na parametrização.
\mathbf{r}'(t)=\bigl(-\sin t,\;\cos t,\;\cos t\bigr).
A integral de linha é
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{t=-\pi/2}^{\pi/2}\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.

Passo 4

Substituímos z=y, x=\cos t, y=1+\sin t nas componentes de \mathbf{F}. Para simplificar a escrita, chamemos
A(t)=\cos\bigl(xy^{3}\bigr)=\cos\bigl(\cos t\,(1+\sin t)^{3}\bigr).
Agora as componentes ficam (usando z=y):
\begin{aligned} F_{1}&=y^{2}z^{3}+y^{3}\cos(xy^{3})=y^{5}+y^{3}A(t),\\[4pt] F_{2}&=xy+2xyz^{3}+3xy^{2}\cos(xy^{3})=x y+2x y^{4}+3x y^{2}A(t),\\[4pt] F_{3}&=z+3 x y^{2} z^{2}=y+3x y^{4}. \end{aligned}
Aqui x=\cos t e y=1+\sin t. Em seguida computamos o produto escalar \mathbf{F}\cdot\mathbf{r}':
\begin{aligned} \mathbf{F}\cdot\mathbf{r}'&=F_{1}(-\sin t)+F_{2}(\cos t)+F_{3}(\cos t)\\[4pt] &=\,-\sin t\,(y^{5}+y^{3}A(t))+\cos t\bigl(y + x y +5 x y^{4}+3 x y^{2}A(t)\bigr), \end{aligned}
onde agrupamos termos semelhantes.]

Passo 5

Agora vamos reconhecer que muitos termos acima são derivadas de expressões simples em x e y ao longo da parametrização — isso é uma técnica eficiente: expressar \mathbf{F}\cdot\mathbf{r}' como derivada total de alguma função de t mais um resto simples. Observe as duas expressões candidatas:
\text{(i)}\quad x y^{5},\qquad\text{(ii)}\quad \sin\bigl(xy^{3}\bigr).
Calculamos as derivadas temporais (regra da cadeia e produto), lembrando x'=-\sin t, y'=\cos t:
\begin{aligned} \frac{d}{dt}\bigl(xy^{5}\bigr)&=x' y^{5}+x\cdot 5 y^{4} y'=-\sin t\,y^{5}+5x y^{4}\cos t,\\[4pt] \frac{d}{dt}\bigl(\sin(xy^{3})\bigr)&=\cos(xy^{3})\cdot\frac{d}{dt}(x y^{3})\\\ &=\cos(xy^{3})\bigl(x' y^{3}+x\cdot 3 y^{2} y'\bigr)\\\ &=-\sin t\,y^{3}A(t)+3x y^{2}A(t)\cos t. \end{aligned}
Somando estas duas derivadas obtemos exatamente os termos
-\sin t\,(y^{5}+y^{3}A(t))+\cos t\bigl(5x y^{4}+3x y^{2}A(t)\bigr),
que aparecem em \mathbf{F}\cdot\mathbf{r}'. Assim
\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}'=\frac{d}{dt}\bigl(xy^{5}+\sin(xy^{3})\bigr)+\cos t\,(y+x y).]

Passo 6

Continuamos tratando o resto \cos t\,(y+x y). Note que \cos t\,y é a derivada de \tfrac{1}{2}y^{2} porque
\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{1}{2}y^{2}\Bigr)=y y' = y\cos t.
Para o termo \cos t\cdot x y usamos que
\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{x y^{2}}{2}\Bigr)=x' \frac{y^{2}}{2}+x y y'=-\sin t\frac{y^{2}}{2}+x y\cos t.
Isolando x y\cos t obtemos
x y\cos t=\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{x y^{2}}{2}\Bigr)+\sin t\frac{y^{2}}{2}.
Substituindo de volta, obtemos a decomposição completa
\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}'=\frac{d}{dt}\Bigl(xy^{5}+\sin(xy^{3})+\frac{x y^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}\Bigr)+\frac{1}{2}\sin t\,y^{2}.
Para resumir, definimos a função
H(t)=xy^{5}+\sin(xy^{3})+\frac{x y^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2},
avaliada ao longo da parametrização; então
\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}'=H'(t)+\frac{1}{2}\sin t\,y^{2}.

Passo 7

Agora integramos de -\tfrac{\pi}{2} a \tfrac{\pi}{2}:
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}'\,dt=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}H'(t)\,dt+\frac{1}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin t\,y^{2}\,dt.
A primeira integral é simplesmente H\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)-H\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr). Avaliamos x,y nos extremos:
\begin{aligned} &t=\tfrac{\pi}{2}:\quad x=\cos\!\tfrac{\pi}{2}=0,\quad y=1+\sin\!\tfrac{\pi}{2}=2,\\\ &t=-\tfrac{\pi}{2}:\quad x=\cos\!\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0,\quad y=1+\sin\!\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0. \end{aligned}
Logo
H\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0\cdot 2^{5}+\sin(0)+\tfrac{0\cdot 2^{2}}{2}+\tfrac{2^{2}}{2}=2, \qquad H\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.
Portanto a primeira parte dá 2.

Passo 8

Falta calcular a integral do resto:
I_{\text{rest}}=\frac{1}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin t\;y^{2}\,dt=\frac{1}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin t\,(1+\sin t)^{2}\,dt.
Expandimos o integrando:
\frac{1}{2}\sin t\,(1+2\sin t+\sin^{2}t)=\frac{1}{2}\bigl(\sin t+2\sin^{2}t+\sin^{3}t\bigr).
Observe que \sin t e \sin^{3}t são funções ímpares, então suas integrais em \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] são 0. Apenas o termo 2\sin^{2}t (par) contribui:
I_{\text{rest}}=\frac{1}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}2\sin^{2}t\,dt=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^{2}t\,dt.
Usando a identidade \sin^{2}t=\tfrac{1-\cos(2t)}{2} ou o valor conhecido \int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}t\,dt=\tfrac{\pi}{4}, obtemos
I_{\text{rest}}=2\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}t\,dt=2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.

Passo 9

Somando as duas parcelas (a contribuição do termo total derivada e a do resto) temos o valor total da integral de linha:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=2+\frac{\pi}{2}.

Resposta

2+\dfrac{\pi}{2}

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