Questão 2. Seja a curva
a interseção da parte do cilindro
com o plano
, orientada no sentido de crescimento de
. Calcule a integral de linha do campo vetorial
, onde
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral de linha da curva
da parte do cilindro
intersectada com o plano
, orientada no sentido de crescimento de
. O campo vetorial dado é
As informações relevantes que temos são:
A tarefa final é calcular
(a notação
do enunciado corresponde aqui ao integral de linha de
ao longo de
, i.e.
).
Passo 2
Parametrizamos a curva
. A projeção no plano
é o círculo centrado em
e raio
:
Uma parametrização natural desse círculo é
com
variando num intervalo de comprimento
. A condição
significa
, portanto escolhemos
Como
(o plano é
), temos
. Verificamos a orientação: para
aumentando em
temos
(no início é zero em
mas logo positive), logo
(e
) cresce — coincide com a orientação pedida. Assim a parametrização da curva
é
Passo 3
Calculamos
, escrevemos a integral de linha como integral em
e substituímos
na parametrização.
A integral de linha é
Passo 4
Substituímos
,
,
nas componentes de
. Para simplificar a escrita, chamemos
Agora as componentes ficam (usando
):
Aqui
e
. Em seguida computamos o produto escalar
:
onde agrupamos termos semelhantes.]
Passo 5
Agora vamos reconhecer que muitos termos acima são derivadas de expressões simples em
e
ao longo da parametrização — isso é uma técnica eficiente: expressar
como derivada total de alguma função de
mais um resto simples. Observe as duas expressões candidatas:
Calculamos as derivadas temporais (regra da cadeia e produto), lembrando
,
:
Somando estas duas derivadas obtemos exatamente os termos
que aparecem em
. Assim
Passo 6
Continuamos tratando o resto
. Note que
é a derivada de
porque
Para o termo
usamos que
Isolando
obtemos
Substituindo de volta, obtemos a decomposição completa
Para resumir, definimos a função
avaliada ao longo da parametrização; então
Passo 7
Agora integramos de
a
:
A primeira integral é simplesmente
. Avaliamos
nos extremos:
Logo
Portanto a primeira parte dá
.
Passo 8
Falta calcular a integral do resto:
Expandimos o integrando:
Observe que
e
são funções ímpares, então suas integrais em
são
. Apenas o termo
(par) contribui:
Usando a identidade
ou o valor conhecido
, obtemos
Passo 9
Somando as duas parcelas (a contribuição do termo total derivada e a do resto) temos o valor total da integral de linha: