Questāo 3. Seja
a semi-esfera com equação
, orientada pelo vetor normal cuja componente
é positiva. Determine o fluxo através de
do campo vetorial
Passo 1
O enunciado pede: determinar o fluxo do campo vetorial
através da semi-esfera
dada por
, com a orientação pelo vetor normal cuja componente
é positiva.
Informações relevantes dadas:
- A superfície
é a semi-esfera superior de raio : pontos com e . - A orientação pedida tem componente
positiva (ou seja, a normal aponta para fora da esfera, com nessa semi-esfera). - O campo vetorial
está explícito (componentes fornecidas). - Queremos o fluxo
, com compatível com a orientação dada.
Passo 2
Estratégia e ferramenta principal: vamos usar o Teorema da Divergência (Gauss) que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a integral tripla da divergência sobre o volume interior. Escrevendo o teorema:
onde
é o volume fechado e
sua superfície de contorno com normal apontando para fora.
Aqui fazemos a superfície fechada composta pela semi-esfera
mais o disco plano
no plano
(o “tampa” da semi-esfera). Assim:
Aqui fazemos a superfície fechada
Nosso objetivo é
. Pelo teorema, se calcularmos
e a
, obtemos a fluxo pela semi-esfera isolando-a na soma acima.
Passo 3
Calcular a divergência
. Lembrando que
. As componentes são
,
,
.
Cálculos das derivadas parciais:
-
, porque não depende de . -
, porque não depende de . -
.
Somando:
Passo 4
Calcular a integral tripla da divergência sobre o volume
(a meia-bola unitária,
). Como
é constante,
A volume da esfera de raio
é
. Como
é a semi-esfera superior,
.
Portanto
Isto é o fluxo total através da superfície fechada
.
Passo 5
Calcular o fluxo através do disco
(plano
,
), com a orientação que corresponde à normal exterior do volume
. Para o volume da meia-bola superior, a normal exterior no disco aponta no sentido negativo de
, isto é
.
No disco temos
, então a terceira componente do campo é
. Assim o produto escalar com a normal é
Logo o fluxo através de
é
A área do disco unitário é
. Portanto
Passo 6
Usar a igualdade do Teorema da Divergência para relacionar as parcelas:
Substituindo os valores calculados:
Isolando o fluxo pela semi-esfera
: