Questāo 3. Seja S a semi-esfera com equação z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}, orientada pelo vetor normal cuja componente z é positiva. Determine o fluxo através de S do campo vetorial
\mathbf{F}(x, y, z)=\left(e^{y^{2}} \cos (z)+x, e^{x^{2}} \operatorname{sen}(z)+y, z+1\right) .

Passo 1

O enunciado pede: determinar o fluxo do campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(e^{y^{2}}\cos(z)+x,\; e^{x^{2}}\sin(z)+y,\; z+1\bigr)
através da semi-esfera S dada por z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}, com a orientação pelo vetor normal cuja componente z é positiva.
Informações relevantes dadas:
  • A superfície S é a semi-esfera superior de raio 1: pontos com x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 e z\ge0.
  • A orientação pedida tem componente z positiva (ou seja, a normal aponta para fora da esfera, com n_{z}>0 nessa semi-esfera).
  • O campo vetorial \mathbf{F} está explícito (componentes fornecidas).
  • Queremos o fluxo \iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS, com \mathbf{n} compatível com a orientação dada.

Passo 2

Estratégia e ferramenta principal: vamos usar o Teorema da Divergência (Gauss) que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a integral tripla da divergência sobre o volume interior. Escrevendo o teorema:
\iint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS \;=\; \iiint_{V} \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV,
onde V é o volume fechado e \partial V sua superfície de contorno com normal apontando para fora.
Aqui fazemos a superfície fechada \partial V composta pela semi-esfera S mais o disco plano D no plano z=0 (o “tampa” da semi-esfera). Assim:
\iint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS+\iint_{D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS.
Nosso objetivo é \iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS. Pelo teorema, se calcularmos \iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV e a \iint_{D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS, obtemos a fluxo pela semi-esfera isolando-a na soma acima.

Passo 3

Calcular a divergência \nabla\cdot\mathbf{F}. Lembrando que \nabla\cdot\mathbf{F}=\dfrac{\partial F_{1}}{\partial x}+\dfrac{\partial F_{2}}{\partial y}+\dfrac{\partial F_{3}}{\partial z}. As componentes são F_{1}=e^{y^{2}}\cos z + x, F_{2}=e^{x^{2}}\sin z + y, F_{3}=z+1.
Cálculos das derivadas parciais:
  • \dfrac{\partial F_{1}}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{y^{2}}\cos z + x\bigr)=0+1=1, porque e^{y^{2}}\cos z não depende de x.
  • \dfrac{\partial F_{2}}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x^{2}}\sin z + y\bigr)=0+1=1, porque e^{x^{2}}\sin z não depende de y.
  • \dfrac{\partial F_{3}}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(z+1)=1.
Somando:
\nabla\cdot\mathbf{F}=1+1+1=3.

Passo 4

Calcular a integral tripla da divergência sobre o volume V (a meia-bola unitária, z\ge0). Como \nabla\cdot\mathbf{F}=3 é constante,
\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV = 3\iiint_{V} dV = 3\cdot \mathrm{Vol}(V).
A volume da esfera de raio 1 é \dfrac{4}{3}\pi\cdot 1^{3}=\dfrac{4\pi}{3}. Como V é a semi-esfera superior, \mathrm{Vol}(V)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{4\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}.
Portanto
\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV = 3\cdot \dfrac{2\pi}{3} = 2\pi.
Isto é o fluxo total através da superfície fechada \partial V = S\cup D.

Passo 5

Calcular o fluxo através do disco D (plano z=0, x^{2}+y^{2}\le1), com a orientação que corresponde à normal exterior do volume V. Para o volume da meia-bola superior, a normal exterior no disco aponta no sentido negativo de z, isto é \mathbf{n}=(0,0,-1).
No disco temos z=0, então a terceira componente do campo é F_{3}(x,y,0)=0+1=1. Assim o produto escalar com a normal é
\mathbf{F}(x,y,0)\cdot\mathbf{n} = (F_{1},F_{2},F_{3})\cdot(0,0,-1) = -F_{3}(x,y,0) = -1.
Logo o fluxo através de D é
\iint_{D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iint_{D} (-1)\,dA = -\mathrm{Area}(D).
A área do disco unitário é \pi. Portanto
\iint_{D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = -\pi.

Passo 6

Usar a igualdade do Teorema da Divergência para relacionar as parcelas:
\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV = \iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS + \iint_{D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS.
Substituindo os valores calculados:
2\pi = \iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS + (-\pi).
Isolando o fluxo pela semi-esfera S:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = 2\pi + \pi = 3\pi.

Resposta

3\pi

Exercícios relacionados