a) ( 1.0 pt) \mathrm{O} conjunto das matrizes acima que geram W é linearmente independente? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial V=M(2,2) e o subespaço W gerado pelas quatro matrizes abaixo. As perguntas são: o conjunto dessas quatro matrizes é linearmente independente? Justificar a resposta. As matrizes fornecidas são (vou escrevê‑las componente a componente, na ordem (1,1),(1,2),(2,1),(2,2)):
Informação relevante dada: são exatamente essas quatro matrizes e pede‑se verificar independência linear (ou dependência) e justificar.]
Passo 2
O que significa “linearmente independente” (definição usada)? Um conjunto de vetores (aqui, matrizes) A_1,A_2,A_3,A_4 é linearmente independente se a única solução da equação
c_1A_1+c_2A_2+c_3A_3+c_4A_4=0
é c_1=c_2=c_3=c_4=0. Caso exista uma solução com algum c_i\neq0, o conjunto é linearmente dependente. Vou então escrever a combinação linear genérica e igualá‑la à matriz zero para obter equações nas componentes.
Passo 3
Escrevendo a combinação linear c_1A_1+c_2A_2+c_3A_3+c_4A_4 componente a componente, usando que somamos entradas correspondentes, temos:
Substituindo c_1=2c_3 na primeira equação c_1-2c_3+c_4=0 dá
2c_3-2c_3+c_4=0 \quad\Rightarrow\quad c_4=0.
Portanto as soluções ficam parametrizadas por \,c_3. Especificamente
(c_1,c_2,c_3,c_4)=(2t,\,-t,\,t,\,0)
para qualquer t\in\mathbb{R}. Se escolhermos t\neq0 obtemos uma solução não trivial.
Passo 5
Como existe solução com algum coeficiente não nulo (por exemplo tomar t=1 dá c_1=2,c_2=-1,c_3=1,c_4=0), concluímos que o conjunto é linearmente dependente. Podemos escrever explicitamente a relação linear não trivial encontrada:
2A_1 - A_2 + A_3 = 0.
Verificação direta (somando matrizes) confirma que a soma à esquerda é de fato a matriz zero.
Passo 6
Interpretação rápida e dica de prova em prova: M(2,2) tem dimensão 4. Ter quatro matrizes não garante independência — é preciso checar. O método prático é representar as matrizes pelas suas entradas, montar a combinação linear nula, igualar entradas e resolver o sistema. Encontrando um parâmetro livre, o conjunto é dependente; ao encontrar só solução trivial, é independente.
Resposta
O conjunto dado não é linearmente independente; ele é linearmente dependente (por exemplo 2A_1 - A_2 + A_3=0).