Questão 4. Seja V=M(2,2) o espaço vetorial das matrizes 2 \times 2 com coeficientes reais. Considere W \subseteq V o subespaço gerado pelas matrizes
\left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} -2 & 2 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right]
a) ( 1.0 pt ) \mathrm{O} conjunto das matrizes acima que geram W é linearmente independente? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=M(2,2) e o subespaço W gerado pelas quatro matrizes abaixo. As perguntas são: o conjunto dessas quatro matrizes é linearmente independente? Justificar a resposta. As matrizes fornecidas são (vou escrevê‑las componente a componente, na ordem (1,1),(1,2),(2,1),(2,2)):
A_1=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad A_2=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},\qquad A_3=\begin{pmatrix}-2 & 2 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},\qquad A_4=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Informação relevante dada: são exatamente essas quatro matrizes e pede‑se verificar independência linear (ou dependência) e justificar.]

Passo 2

O que significa “linearmente independente” (definição usada)? Um conjunto de vetores (aqui, matrizes) A_1,A_2,A_3,A_4 é linearmente independente se a única solução da equação
c_1A_1+c_2A_2+c_3A_3+c_4A_4=0
é c_1=c_2=c_3=c_4=0. Caso exista uma solução com algum c_i\neq0, o conjunto é linearmente dependente. Vou então escrever a combinação linear genérica e igualá‑la à matriz zero para obter equações nas componentes.

Passo 3

Escrevendo a combinação linear c_1A_1+c_2A_2+c_3A_3+c_4A_4 componente a componente, usando que somamos entradas correspondentes, temos:
  • Entrada (1,1):
c_1\cdot 1 + c_2\cdot 0 + c_3\cdot(-2) + c_4\cdot 1 = 0.
Ou seja,
c_1 - 2c_3 + c_4 = 0.
  • Entrada (1,2):
c_1\cdot(-1) + c_2\cdot 0 + c_3\cdot 2 + c_4\cdot 0 = 0.
Ou seja,
-\,c_1 + 2c_3 = 0.
  • Entrada (2,1):
c_1\cdot 0 + c_2\cdot 1 + c_3\cdot 1 + c_4\cdot 0 = 0.
Ou seja,
c_2 + c_3 = 0.
  • Entrada (2,2):
c_1\cdot 0 + c_2\cdot 1 + c_3\cdot 1 + c_4\cdot 0 = 0,
que é a mesma equação que a anterior:
c_2 + c_3 = 0.
Portanto o sistema de equações para os coeficientes é
\begin{cases} c_1 - 2c_3 + c_4 = 0,\\[4pt] -\,c_1 + 2c_3 = 0,\\[4pt] c_2 + c_3 = 0. \end{cases}]

Passo 4

Resolver esse sistema passo a passo.
Da segunda equação -c_1+2c_3=0 obtemos
c_1=2c_3.
Da terceira equação c_2+c_3=0 obtemos
c_2=-c_3.
Substituindo c_1=2c_3 na primeira equação c_1-2c_3+c_4=0
2c_3-2c_3+c_4=0 \quad\Rightarrow\quad c_4=0.
Portanto as soluções ficam parametrizadas por \,c_3. Especificamente
(c_1,c_2,c_3,c_4)=(2t,\,-t,\,t,\,0)
para qualquer t\in\mathbb{R}. Se escolhermos t\neq0 obtemos uma solução não trivial.

Passo 5

Como existe solução com algum coeficiente não nulo (por exemplo tomar t=1 c_1=2,c_2=-1,c_3=1,c_4=0), concluímos que o conjunto é linearmente dependente. Podemos escrever explicitamente a relação linear não trivial encontrada:
2A_1 - A_2 + A_3 = 0.
Verificação direta (somando matrizes) confirma que a soma à esquerda é de fato a matriz zero.

Passo 6

Interpretação rápida e dica de prova em prova: M(2,2) tem dimensão 4. Ter quatro matrizes não garante independência — é preciso checar. O método prático é representar as matrizes pelas suas entradas, montar a combinação linear nula, igualar entradas e resolver o sistema. Encontrando um parâmetro livre, o conjunto é dependente; ao encontrar só solução trivial, é independente.

Resposta

O conjunto dado não é linearmente independente; ele é linearmente dependente (por exemplo 2A_1 - A_2 + A_3=0).

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