4^{a} Questão:( 15 pontos) Considere o espaço vetorial V=\mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}) dos polinômios de grau menor ou igual a 2 .
(a) ( 5 pontos) Determine o valor real de k para que o polinômio t(x)=2 x^{2}-7 x+k seja uma combinação linear dos polinômios
p(x)=x^{2}-2 x+1 \text { e } q(x)=x^{2}+x+1
(b) ( \mathbf{1 0} pontos) Mostre que \beta=\{p(x), q(x), h(x)\}, onde h(x)=x+1, é uma base de V=\mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}) (polinômios de grau \le 2) e os polinômios
p(x)=x^{2}-2x+1,\qquad q(x)=x^{2}+x+1,\qquad h(x)=x+1,
além do polinômio
t(x)=2x^{2}-7x+k,
onde k é uma constante real a determinar.
As perguntas são:
(a) Determinar o valor real de k para que t(x) seja combinação linear de p(x) e q(x).
(b) Mostrar que \beta=\{p(x),q(x),h(x)\} é uma base de V=\mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}).
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • As formas explícitas de p,q,h,t (já escritas acima).
  • Espaço V tem dimensão 3 (pois polinômios de grau \le 2 têm base canônica \{1,x,x^{2}\}).
  • Em V, igualdade de polinômios equivale à igualdade de coeficientes dos termos x^{2},x,1.

Passo 2

Relembrando de forma bem didática: dizer que t(x) é combinação linear de p(x) e q(x) significa que existem escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha\,p(x)+\beta\,q(x)=t(x).
Como estamos em \mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}), duas maneiras simples de verificar isso são (i) escrever a combinação linear e comparar coeficientes correspondentes de x^{2},x,1 ou (ii) resolver um sistema linear para \alpha,\beta. Aqui usaremos a comparação de coeficientes (é a mais direta em provas sem calculadora).

Passo 3

Escrevendo a combinação linear:
\alpha p(x)+\beta q(x)=\alpha(x^{2}-2x+1)+\beta(x^{2}+x+1).
Agrupando termos iguais de potências de x obtemos
\alpha p(x)+\beta q(x)=(\alpha+\beta)x^{2}+(-2\alpha+\beta)x+(\alpha+\beta).
Queremos que isso seja igual a t(x)=2x^{2}-7x+k. Igualando coeficientes dos termos correspondentes temos o sistema
\begin{cases} \alpha+\beta=2,\\[4pt] -2\alpha+\beta=-7,\\[4pt] \alpha+\beta=k. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema para \alpha e \beta. Das duas primeiras equações:
\alpha+\beta=2\quad\text{e}\quad -2\alpha+\beta=-7.
Subtraindo a primeira da segunda (ou substituindo) — eu faço substituição: da primeira \beta=2-\alpha. Substituindo na segunda:
-2\alpha+(2-\alpha)=-7.
Calcule passo a passo:
-2\alpha+2-\alpha=-7\quad\Rightarrow\quad -3\alpha+2=-7.
Isolando \alpha:
-3\alpha=-9\quad\Rightarrow\quad \alpha=3.
Então \beta=2-\alpha=2-3=-1.

Passo 5

A terceira equação do sistema deu \alpha+\beta=k. Como já sabemos \alpha+\beta=2 (da primeira equação), concluímos que
k=2.
Portanto existe combinação linear (com \alpha=3,\\ \beta=-1) e o valor requerido é k=2.

Passo 6

Agora a parte (b): explicar o que significa \beta=\{p,q,h\} ser base de V. Por definição, um conjunto de vetores é base de um espaço vetorial se gera o espaço (ou seja, todo vetor do espaço é combinação linear desses vetores) e é linearmente independente. Em espaços de dimensão finita é suficiente provar que temos exatamente \dim V vetores linearmente independentes (ou que geram e têm número igual à dimensão). Aqui \dim\mathbb{P}_{2}(\mathbb{R})=3, e \beta tem 3 vetores. Então basta mostrar que eles são linearmente independentes; isso já implicará que \beta é uma base.

Passo 7

Testar linear independência diretamente: considerar escalares c_{1},c_{2},c_{3}\in\mathbb{R} tais que
c_{1}p(x)+c_{2}q(x)+c_{3}h(x)=0,
onde 0 é o polinômio nulo. Escrevendo os polinômios:
c_{1}(x^{2}-2x+1)+c_{2}(x^{2}+x+1)+c_{3}(x+1)=0.
Agrupando por potências de x obtemos
(c_{1}+c_{2})x^{2}+(-2c_{1}+c_{2}+c_{3})x+(c_{1}+c_{2}+c_{3})=0.
Igualando coeficientes ao polinômio nulo gera o sistema
\begin{cases} c_{1}+c_{2}=0,\\[4pt] -2c_{1}+c_{2}+c_{3}=0,\\[4pt] c_{1}+c_{2}+c_{3}=0. \end{cases}]

Passo 8

Resolver o sistema de coeficientes. Da primeira equação vem
c_{2}=-c_{1}.
Substituindo na terceira equação:
c_{1}+(-c_{1})+c_{3}=c_{3}=0,
logo c_{3}=0. Agora substituir c_{2}=-c_{1} e c_{3}=0 na segunda equação:
-2c_{1}+(-c_{1})+0=-3c_{1}=0\quad\Rightarrow\quad c_{1}=0.
Então c_{2}=-c_{1}=0 e c_{3}=0. Portanto a única solução é c_{1}=c_{2}=c_{3}=0, o que mostra que \{p,q,h\} é linearmente independente.

Passo 9

Como \beta tem 3 vetores e \dim\mathbb{P}_{2}(\mathbb{R})=3, o fato de serem linearmente independentes implica que \beta é uma base de V. Alternativamente, dizer que são linearmente independentes em um espaço de dimensão 3 já garante que geram o espaço, portanto formam base.

Passo 10

Resumo final e motivação de prova: para (a) usamos a igualdade de coeficientes em combinações lineares de polinômios; para (b) mostramos que a única combinação linear que dá o polinômio nulo é a combinação trivial, provando independência, e então usamos a dimensão para concluir que é base. Se ficar nervoso na prova, faça exatamente esses passos: escrever combinação linear, agrupar coeficientes e resolver o sistema — é mecânico e seguro.

Resposta

(a) k=2
(b) \beta=\{p,q,h\} é uma base de V=\mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}).

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