4^{a} Questão:( 15 pontos) Considere o espaço vetorial V=\mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}) dos polinômios de grau menor ou igual a 2 .
(a) ( 5 pontos) Determine o valor real de k para que o polinômio t(x)=2 x^{2}-7 x+k seja uma combinação linear dos polinômios
p(x)=x^{2}-2 x+1 \text { e } q(x)=x^{2}+x+1
(b) ( \mathbf{1 0} pontos) Mostre que \beta=\{p(x), q(x), h(x)\}, onde h(x)=x+1, é uma base de V=\mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}).
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}) (polinômios de grau \le 2) e os polinômios
As perguntas são:
(a) Determinar o valor real de k para que t(x) seja combinação linear de p(x) e q(x).
(b) Mostrar que \beta=\{p(x),q(x),h(x)\} é uma base de V=\mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}).
Dados relevantes extraídos do enunciado:
As formas explícitas de p,q,h,t (já escritas acima).
Espaço V tem dimensão 3 (pois polinômios de grau \le 2 têm base canônica \{1,x,x^{2}\}).
Em V, igualdade de polinômios equivale à igualdade de coeficientes dos termos x^{2},x,1.
Passo 2
Relembrando de forma bem didática: dizer que t(x) é combinação linear de p(x) e q(x) significa que existem escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha\,p(x)+\beta\,q(x)=t(x).
Como estamos em \mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}), duas maneiras simples de verificar isso são (i) escrever a combinação linear e comparar coeficientes correspondentes de x^{2},x,1 ou (ii) resolver um sistema linear para \alpha,\beta. Aqui usaremos a comparação de coeficientes (é a mais direta em provas sem calculadora).
A terceira equação do sistema deu \alpha+\beta=k. Como já sabemos \alpha+\beta=2 (da primeira equação), concluímos que
k=2.
Portanto existe combinação linear (com \alpha=3,\\ \beta=-1) e o valor requerido é k=2.
Passo 6
Agora a parte (b): explicar o que significa \beta=\{p,q,h\} ser base de V. Por definição, um conjunto de vetores é base de um espaço vetorial se gera o espaço (ou seja, todo vetor do espaço é combinação linear desses vetores) e é linearmente independente. Em espaços de dimensão finita é suficiente provar que temos exatamente \dim V vetores linearmente independentes (ou que geram e têm número igual à dimensão). Aqui \dim\mathbb{P}_{2}(\mathbb{R})=3, e \beta tem 3 vetores. Então basta mostrar que eles são linearmente independentes; isso já implicará que \beta é uma base.
Passo 7
Testar linear independência diretamente: considerar escalares c_{1},c_{2},c_{3}\in\mathbb{R} tais que
c_{1}p(x)+c_{2}q(x)+c_{3}h(x)=0,
onde 0 é o polinômio nulo. Escrevendo os polinômios:
Então c_{2}=-c_{1}=0 e c_{3}=0. Portanto a única solução é c_{1}=c_{2}=c_{3}=0, o que mostra que \{p,q,h\} é linearmente independente.
Passo 9
Como \beta tem 3 vetores e \dim\mathbb{P}_{2}(\mathbb{R})=3, o fato de serem linearmente independentes implica que \beta é uma base de V. Alternativamente, dizer que são linearmente independentes em um espaço de dimensão 3 já garante que geram o espaço, portanto formam base.
Passo 10
Resumo final e motivação de prova: para (a) usamos a igualdade de coeficientes em combinações lineares de polinômios; para (b) mostramos que a única combinação linear que dá o polinômio nulo é a combinação trivial, provando independência, e então usamos a dimensão para concluir que é base. Se ficar nervoso na prova, faça exatamente esses passos: escrever combinação linear, agrupar coeficientes e resolver o sistema — é mecânico e seguro.
Resposta
(a) k=2
(b) \beta=\{p,q,h\} é uma base de V=\mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}).