Questão 2. Considere a matriz
B=\left[\begin{array}{cccc} 3 & -1 & 5 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 & 1 \\\\ 2 & 0 & -1 & 3 \\\\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right]
a) ( 2.0 pt ) Calcule \operatorname{det} B.
b) ( 1.0 pt) A matriz inversa de B existe? Dica: use o item anterior para fundamentar sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
B=\begin{bmatrix} 3 & -1 & 5 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 & 1 \\\\ 2 & 0 & -1 & 3 \\\\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}
e pede duas coisas:
  • (a) Calcular \det B.
  • (b) Dizer se a matriz inversa de B existe (usar o item anterior para fundamentar a resposta).
As entradas da matriz e as perguntas acima são todas as informações relevantes fornecidas.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática).
  • Quando uma linha ou coluna tem muitos zeros, é muito prático calcular o determinante pela expansão de Laplace (expansão por cofatores) ao longo dessa linha ou coluna: isso reduz o número de 3\times3 determinantes a calcular.
  • A segunda linha de B é [0\;2\;0\;1], que tem dois zeros. Portanto vamos fazer a expansão por cofatores ao longo da segunda linha. Isso é uma escolha simples e eficiente para papel e caneta.
  • Lembrete do que é a expansão por cofatores: se A=(a_{ij}) é n\times n, então
\det A=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(M_{ij}),
onde M_{ij} é a matriz obtida de A removendo a linha i e a coluna j. Aqui tomaremos i=2 (segunda linha).

Passo 3

Aplicando a expansão por cofatores na segunda linha.
  • Os elementos não nulos da segunda linha são a_{22}=2 e a_{24}=1.
  • Logo
\det B = (-1)^{2+2}a_{22}\det(M_{22}) + (-1)^{2+4}a_{24}\det(M_{24}).
  • Como (-1)^{4}=+1 e (-1)^{6}=+1, obtemos
\det B = 2\det(M_{22}) + 1\cdot\det(M_{24}).
Agora vamos calcular os dois menores 3\times3: M_{22} e M_{24}.

Passo 4

Construção e cálculo de M_{22}.
  • Removendo a linha 2 e a coluna 2 de B (ou seja, retirar a segunda linha e a segunda coluna), a matriz M_{22} é
M_{22}=\begin{bmatrix} 3 & 5 & 0\\\\ 2 & -1 & 3\\\\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix},
pois peguei esses números da matriz B.
  • Para calcular o determinante de um 3\times3 uma forma simples é a expansão em primeira linha (ou usar a regra de Sarrus). Vou usar a expansão na primeira linha para deixar claro cada passo:
\det(M_{22}) = 3\det\begin{bmatrix}-1 & 3 \\[4pt] 2 & 0\end{bmatrix} - 5\det\begin{bmatrix}2 & 3 \\[4pt] 1 & 0\end{bmatrix} + 0\cdot(\cdots).
  • Calculando os 2\times2:
\det\begin{bmatrix}-1 & 3 \\[4pt] 2 & 0\end{bmatrix} = (-1)\cdot 0 - 3\cdot 2 = -6,
\det\begin{bmatrix}2 & 3 \\[4pt] 1 & 0\end{bmatrix} = 2\cdot 0 - 3\cdot 1 = -3.
  • Substituindo:
\det(M_{22}) = 3\cdot(-6) - 5\cdot(-3) = -18 +15 = -3.]

Passo 5

Construção e cálculo de M_{24}.
  • Removendo a linha 2 e a coluna 4 de B, a matriz M_{24} é
M_{24}=\begin{bmatrix} 3 & -1 & 5\\\\ 2 & 0 & -1\\\\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix},
pois peguei esses números da matriz B.
  • Calculo do determinante de M_{24} pela expansão na primeira linha:
\det(M_{24}) = 3\det\begin{bmatrix}0 & -1 \\[4pt] 1 & 2\end{bmatrix} - (-1)\det\begin{bmatrix}2 & -1 \\[4pt] 1 & 2\end{bmatrix} + 5\det\begin{bmatrix}2 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{bmatrix}.
  • Calculando os 2\times2:
\det\begin{bmatrix}0 & -1 \\[4pt] 1 & 2\end{bmatrix} = 0\cdot 2 - (-1)\cdot 1 = 1,
\det\begin{bmatrix}2 & -1 \\[4pt] 1 & 2\end{bmatrix} = 2\cdot 2 - (-1)\cdot 1 = 4+1=5,
\det\begin{bmatrix}2 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{bmatrix} = 2\cdot 1 - 0\cdot 1 = 2.
  • Substituindo:
\det(M_{24}) = 3\cdot 1 - (-1)\cdot 5 + 5\cdot 2 = 3 +5 +10 = 18.]

Passo 6

Juntando os resultados para obter \det B.
  • Usando os valores encontrados:
\det(M_{22}) = -3,\qquad \det(M_{24})=18.
  • Portanto, pela fórmula do Passo 3,
\det B = 2\cdot(-3) + 1\cdot 18 = -6 + 18 = 12.
  • Conclusão: o determinante de B é \;12.

Passo 7

Resposta ao item (b) — explicação didática sobre invertibilidade.
  • Teorema importante e usado em provas: uma matriz quadrada A é invertível (tem inversa) se, e somente se, \det A \neq 0.
  • Aqui encontramos \det B = 12 \neq 0. Logo, pela propriedade acima, a matriz B é invertível; isto é, sua inversa existe.

Resposta

\det B=12
Sim — a inversa de B existe, pois \det B\neq 0.

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