Questão 5. Seja
f(t)=\left\{\begin{aligned} 3 t, & \text { se } 0<t<2 \\ 6, & \text { se } 2<t<4 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado fornece a função por partes
f(t)=\begin{cases} 3t, & \text{se } 0<t<2,\\[4pt] 6, & \text{se } 2<t<4. \end{cases}
Informações claras que vieram no enunciado:
  • A função está definida em dois intervalos abertos: (0,2) e (2,4).
  • Não há especificação do valor de f em t=0, em t=2 ou em t=4.
  • Não foi dada uma pergunta: o enunciado não diz o que se deve calcular (por exemplo: continuidade, integral, transformada, derivada, série de Fourier, etc.).
O que o enunciado pede: não há nenhum pedido explícito. Portanto não é possível avançar para obter “a resposta” do problema porque a pergunta está faltando.]

Passo 2

Por que não dá para entregar uma “resposta final” imediata:
  • Diferentes perguntas sobre a mesma função pedem técnicas diferentes (ex.: calcular \int_0^4 f(t)\,dt usa antiderivadas; verificar continuidade em t=2 usa limites laterais; obter a transformada de Laplace usa integração com fator e^{-st}; etc.).
  • Sem saber qual dessas (ou outra) perguntas o professor queria, eu correria o risco de resolver algo que você não precisa.
Como vou ser útil apesar disso: vou listar os pedidos mais prováveis que costumam aparecer em provas para funções por partes e resolver cada um deles passo a passo, explicando a teoria necessária para que você consiga fazer em prova. Se a sua pergunta era uma dessas, basta conferir; se não, copie o passo correspondente e me mande o enunciado completo depois.

Passo 3

Caso provável 1 — verificar continuidade em t=2. Conceitos rápidos:
  • Definição de limite lateral: \lim_{t\to 2^-} f(t) é o valor que f(t) se aproxima quando t vem pela esquerda de 2; \lim_{t\to 2^+} f(t) idem vindo pela direita.
  • Uma função é contínua em t=2 se e somente se os dois limites laterais existem, são iguais entre si e igualam o valor f(2). Se f(2) não estiver definido, a função pode ser “tornada contínua” definindo f(2) igual ao limite comum.
Cálculo dos limites:
  • À esquerda, para 0<t<2 vale f(t)=3t. Então
\lim_{t\to 2^-} f(t)=\lim_{t\to 2^-} 3t = 3\cdot 2 = 6.
  • À direita, para 2<t<4 vale f(t)=6. Então
\lim_{t\to 2^+} f(t)=6.
Conclusão: os limites lateral esquerdo e direito coincidem e valem 6. Como o enunciado não dá f(2), atualmente f não está definida em t=2, mas se for necessário “tornar contínua” basta definir f(2)=6. Em prova, ao pedir “é contínua em t=2?”, responda: os limites laterais existem e coincidem em 6; portanto pode-se definir f(2)=6 para garantir continuidade.

Passo 4

Caso provável 2 — calcular a integral \int_{0}^{4} f(t)\,dt. Ideia e fórmula:
  • Para uma função por partes em intervalos disjuntos, a integral em [0,4] é soma das integrais nos subintervalos onde a expressão é conhecida:
\int_{0}^{4} f(t)\,dt = \int_{0}^{2} 3t\,dt + \int_{2}^{4} 6\,dt,
assumindo que f seja integrável (é, pois é contínua em cada intervalo aberto e as descontinuidades isoladas não atrapalham a integrabilidade em Riemann).
Cálculo detalhado (sem pular etapas):
  • Para \int_{0}^{2} 3t\,dt: a antiderivada de 3t é \dfrac{3}{2}t^{2} (porque derivando \dfrac{3}{2}t^{2} obtém-se 3t). Avaliando de 0 a 2,
\int_{0}^{2} 3t\,dt = \left.\dfrac{3}{2}t^{2}\right|_{0}^{2} = \dfrac{3}{2}\cdot 2^{2} - \dfrac{3}{2}\cdot 0^{2} = \dfrac{3}{2}\cdot 4 = 6.
  • Para \int_{2}^{4} 6\,dt: a antiderivada de 6 é 6t. Avaliando,
\int_{2}^{4} 6\,dt = \left.6t\right|_{2}^{4} = 6\cdot 4 - 6\cdot 2 = 24 - 12 = 12.
  • Somando:
\int_{0}^{4} f(t)\,dt = 6 + 12 = 18.
Dica prática para prova: divida sempre a integral nos intervalos onde f tem expressão simples, calcule antiderivadas elementares e some.

Passo 5

Caso provável 3 — valor médio de f em [0,4]. Conceito e cálculo:
  • O valor médio de uma função em [a,b] é \dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(t)\,dt.
  • Aqui a=0, b=4, já calculamos \int_{0}^{4} f(t)\,dt = 18. Então
\text{valor médio} = \dfrac{1}{4-0}\cdot 18 = \dfrac{18}{4} = \dfrac{9}{2} = 4{,}5.é

Passo 6

Caso provável 4 — derivada por partes / continuidade da derivada. Conceitos:
  • A derivada em um ponto interior de cada ramo é a derivada da expressão que define o ramo.
  • Para 0<t<2, f(t)=3t tem derivada f'(t)=3.
  • Para 2<t<4, f(t)=6 tem derivada f'(t)=0.
  • Em t=2 a derivada não existe porque os limites das derivadas laterais não coincidem (à esquerda a derivada tende a 3, à direita a 0) — isso é uma descontinuidade de primeira derivada (canto). A própria função, porém, tem limite comum 6 (veja Passo 3), então não há salto no valor de f, apenas na derivada.
Observação para provas: uma mudança no valor da derivada não implica um delta de Dirac na derivada (como distribuição) — deltas aparecem se a própria função tem salto (discontinuidade de valor).

Passo 7

Caso provável 5 — transformada de Laplace \mathcal{L}\{f\}(s), assumindo f(t)=0 para t\le 0 e f(t)=0 para t>4 (ou seja, função nula fora de (0,4)). Método:
  • Definição:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
  • Como f é não nula apenas em (0,4),
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{2} e^{-st}\cdot 3t\,dt + \int_{2}^{4} e^{-st}\cdot 6\,dt.
Cálculo passo a passo:
  1. Integrar \int_{0}^{2} 3t e^{-st}\,dt. Use integração por partes ou a fórmula conhecida \int t e^{-st}\,dt = -\dfrac{t e^{-st}}{s} - \dfrac{e^{-st}}{s^{2}} + C. Assim,
\int_{0}^{2} 3t e^{-st}\,dt = 3\left[\,-\dfrac{t e^{-st}}{s} - \dfrac{e^{-st}}{s^{2}}\right]_{0}^{2} = 3\left(-\dfrac{2 e^{-2s}}{s} - \dfrac{e^{-2s}}{s^{2}} + \dfrac{1}{s^{2}}\right).
Simplificando,
\int_{0}^{2} 3t e^{-st}\,dt = \dfrac{3}{s^{2}} - e^{-2s}\!\left(\dfrac{6}{s} + \dfrac{3}{s^{2}}\right).
  1. Integrar \int_{2}^{4} 6 e^{-st}\,dt. Antiderivada de 6e^{-st} é -\dfrac{6}{s}e^{-st}. Avaliando,
\int_{2}^{4} 6 e^{-st}\,dt = \left.-\dfrac{6}{s}e^{-st}\right|_{2}^{4} = \dfrac{6}{s}\bigl(e^{-2s}-e^{-4s}\bigr).
  1. Somando as duas partes:
\mathcal{L}\{f\}(s) = \dfrac{3}{s^{2}} - e^{-2s}\!\left(\dfrac{6}{s} + \dfrac{3}{s^{2}}\right) + \dfrac{6}{s}\bigl(e^{-2s}-e^{-4s}\bigr).
Agrupando termos com e^{-2s},
\mathcal{L}\{f\}(s) = \dfrac{3}{s^{2}} - \dfrac{3}{s^{2}}e^{-2s} - \dfrac{6}{s}e^{-4s}.
Ou, reescrevendo de forma compacta,
\mathcal{L}\{f\}(s)=\dfrac{3}{s^{2}}\bigl(1-e^{-2s}\bigr) - \dfrac{6}{s}e^{-4s}.
Dica de prova: ao calcular transformadas de funções por partes, escreva a integral como soma sobre os intervalos e use fórmulas padrão (integração por partes para t e^{-st}, e integral direta para e^{-st}).

Passo 8

Resumo e orientação final:
  • Eu não posso dar uma única “resposta final” porque o enunciado que você mandou não contém a pergunta.
  • Entretanto, eu já resolvi e expliquei passo a passo várias perguntas típicas que costumam ser pedidas sobre esse tipo de função: continuidade em t=2, integral em [0,4], valor médio, comportamento da derivada e transformada de Laplace. Se a sua prova pede alguma dessas, você já tem a solução detalhada; se pedirem outra coisa (por exemplo: série de Fourier periódica com período 4, convolução, ou encontrar primitiva geral), envie a pergunta completa e eu faço da mesma forma, passo a passo.

Resposta

Enunciado incompleto: não há pergunta definida, portanto não é possível fornecer uma única resposta final.

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