Questão 51. Prove que
;
Passo 1
O enunciado pede para provar que a transformada de Laplace da função
é
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função a transformar é
. Vou entender isso como (isto é o habitual em notação brasileira: ). - O objetivo final é obter a expressão
como .
Passo 2
Definição útil e propriedade-chave (que vou usar): a transformada de Laplace de uma função
é
quando essa integral converge para
suficientemente grande.\n
Existe uma propriedade muito prática que liga multiplicação por no domínio do tempo à derivada em relação a
no domínio de Laplace:
Existe uma propriedade muito prática que liga multiplicação por
Vou provar essa identidade de forma direta e didática.\n
Prova da propriedade: comece da definição de :
Prova da propriedade: comece da definição de
Se for permitido trocar derivação com integração (válido sob condições padrão de convergência; em prática vale para funções de ordem exponencial), então
Portanto
que reorganizado dá exatamente
Pronto: essa propriedade é a ferramenta que vou usar para calcular
mais rápido do que integrar por partes direto.
Passo 3
Calcular primeiro
. Usarei um truque rápido com exponenciais complexas, que é limpo e direto.\n
Considere a função . Temos
. Então
Considere a função
Para
a integral converge e é uma integral exponencial geométrica:
Tomando a parte imaginária:
Agora faça a conjugação algébrica para obter a parte imaginária em forma real. Escreva
A parte imaginária dessa fração é
. Portanto
Passo 4
Agora aplique a propriedade do Passo 2 com
. Temos
Calcule a derivada passo a passo. Escreva
. Então
A derivada de
em relação a
é
. Substituindo:
Lembre que
tem um sinal negativo em frente da derivada, então
Passo 5
Interpretação final e checagem rápida: a expressão é simétrica em
e
de forma adequada (dimensionalmente consistente) e coincide com o que se obteria fazendo integração por partes duas vezes diretamente na integral
. A propriedade
simplifica muito e é a forma recomendada em prova/tempo de exame.\n
Força aí — você já tem a fórmula e a justificativa completa!
Força aí — você já tem a fórmula e a justificativa completa!