Questão 51. Prove que
\mathcal{L}\{\operatorname{tsen}(a t)\}=\frac{2 a s}{\left(s^{2}+a^{2}\right)^{2}};

Passo 1

O enunciado pede para provar que a transformada de Laplace da função \operatorname{tsen}(a t) é \dfrac{2 a s}{\left(s^{2}+a^{2}\right)^{2}}.\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A função a transformar é \operatorname{tsen}(a t). Vou entender isso como t\sin(a t) (isto é o habitual em notação brasileira: t\cdot\sin(at)).
  • O objetivo final é obter a expressão \dfrac{2 a s}{\left(s^{2}+a^{2}\right)^{2}} como \mathcal{L}\{t\sin(a t)\}.

Passo 2

Definição útil e propriedade-chave (que vou usar): a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}f(t)\,dt,
quando essa integral converge para \operatorname{Re}(s) suficientemente grande.\n
Existe uma propriedade muito prática que liga multiplicação por t no domínio do tempo à derivada em relação a s no domínio de Laplace:
\mathcal{L}\{t\,f(t)\}(s)=-\frac{d}{ds}\bigl(\mathcal{L}\{f(t)\}(s)\bigr).
Vou provar essa identidade de forma direta e didática.\n
Prova da propriedade: comece da definição de \mathcal{L}\{f(t)\}:
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}f(t)\,dt.
Se for permitido trocar derivação com integração (válido sob condições padrão de convergência; em prática vale para funções de ordem exponencial), então
\frac{d}{ds}F(s)=\frac{d}{ds}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}f(t)\,dt=\int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial s}\bigl(e^{-s t}f(t)\bigr)\,dt=\int_{0}^{\infty}(-t)e^{-s t}f(t)\,dt.
Portanto
\frac{d}{ds}F(s)=-\mathcal{L}\{t\,f(t)\}(s),
que reorganizado dá exatamente
\mathcal{L}\{t\,f(t)\}(s)=-\frac{d}{ds}F(s).
Pronto: essa propriedade é a ferramenta que vou usar para calcular \mathcal{L}\{t\sin(at)\} mais rápido do que integrar por partes direto.

Passo 3

Calcular primeiro \mathcal{L}\{\sin(a t)\}(s). Usarei um truque rápido com exponenciais complexas, que é limpo e direto.\n
Considere a função e^{i a t}. Temos \sin(a t)=\operatorname{Im}\bigl(e^{i a t}\bigr). Então
\mathcal{L}\{\sin(a t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\sin(a t)\,dt=\operatorname{Im}\!\left(\int_{0}^{\infty} e^{-s t}e^{i a t}\,dt\right)=\operatorname{Im}\!\left(\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i a)t}\,dt\right).
Para \operatorname{Re}(s)>0 a integral converge e é uma integral exponencial geométrica:
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i a)t}\,dt=\left[\frac{e^{-(s-i a)t}}{-(s-i a)}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s-i a}.
Tomando a parte imaginária:
\mathcal{L}\{\sin(a t)\}(s)=\operatorname{Im}\!\left(\frac{1}{s-i a}\right).
Agora faça a conjugação algébrica para obter a parte imaginária em forma real. Escreva
\frac{1}{s-i a}=\frac{s+i a}{(s-i a)(s+i a)}=\frac{s+i a}{s^{2}+a^{2}}.
A parte imaginária dessa fração é \dfrac{a}{s^{2}+a^{2}}. Portanto
\mathcal{L}\{\sin(a t)\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.

Passo 4

Agora aplique a propriedade do Passo 2 com f(t)=\sin(a t). Temos
\mathcal{L}\{t\sin(a t)\}(s)=-\frac{d}{ds}\!\left(\mathcal{L}\{\sin(a t)\}(s)\right)=-\frac{d}{ds}\!\left(\frac{a}{s^{2}+a^{2}}\right).
Calcule a derivada passo a passo. Escreva \dfrac{a}{s^{2}+a^{2}}=a\,(s^{2}+a^{2})^{-1}. Então
\frac{d}{ds}\!\left(a\,(s^{2}+a^{2})^{-1}\right)=a\cdot\bigl(-1\bigr)\cdot (s^{2}+a^{2})^{-2}\cdot\frac{d}{ds}(s^{2}+a^{2}).
A derivada de s^{2}+a^{2} em relação a s é 2s. Substituindo:
\frac{d}{ds}\!\left(\frac{a}{s^{2}+a^{2}}\right)=-a\cdot (s^{2}+a^{2})^{-2}\cdot 2s=-\frac{2 a s}{(s^{2}+a^{2})^{2}}.
Lembre que \mathcal{L}\{t\sin(a t)\}(s) tem um sinal negativo em frente da derivada, então
\mathcal{L}\{t\sin(a t)\}(s)=-\left(-\frac{2 a s}{(s^{2}+a^{2})^{2}}\right)=\frac{2 a s}{(s^{2}+a^{2})^{2}}.

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida: a expressão é simétrica em a e s de forma adequada (dimensionalmente consistente) e coincide com o que se obteria fazendo integração por partes duas vezes diretamente na integral \int_{0}^{\infty} e^{-s t}t\sin(at)\,dt. A propriedade \mathcal{L}\{t f(t)\} = -\dfrac{d}{ds}\mathcal{L}\{f(t)\} simplifica muito e é a forma recomendada em prova/tempo de exame.\n
Força aí — você já tem a fórmula e a justificativa completa!

Resposta

\mathcal{L}\{t\sin(a t)\}(s)=\dfrac{2 a s}{\left(s^{2}+a^{2}\right)^{2}}

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