Questão 2 Seja

f(x)= \begin{cases}x^{3}-2 x^{2}+1, & \text { se } x \leq 1, \\\ x+2, & \text { se } x>1 .\end{cases}
(a) Verifique se f é contínua em x=1.
(b) Verifique se f é diferenciável em x=1.

Passo 1

O enunciado fornece a função definida por partes
f(x)= \begin{cases}x^{3}-2 x^{2}+1, & \text{se } x \leq 1, \\\ x+2, & \text{se } x>1,\end{cases}
e pede duas verificações em x=1:
(a) Verificar se f é contínua em x=1.
(b) Verificar se f é diferenciável em x=1.
As informações relevantes dadas pelo enunciado são as duas expressões da função, e o ponto de interesse x=1. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Definição prática de continuidade em um ponto (aula rápida, bem mastigada): uma função f é contínua em x=1 se e somente se os três números a seguir forem iguais:
  1. o limite pela esquerda \lim_{x\to1^-} f(x),
  2. o limite pela direita \lim_{x\to1^+} f(x),
  3. o valor f(1).
Vou explicar o porquê: continuidade significa que, ao nos aproximarmos de 1 por qualquer lado, os valores de f(x) se aproximam justamente do valor que a função toma em 1. Portanto precisamos calcular os dois limites laterais e o valor da função em 1.

Passo 3

Calcular \lim_{x\to1^-} f(x) (aproximação vindo da esquerda): para x<1 usamos a primeira expressão \,x^{3}-2x^{2}+1. Polinômios são funções contínuas em todos os pontos, então o limite quando x\to1 é obtido apenas substituindo x=1.
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1} \bigl(x^{3}-2x^{2}+1\bigr)
Agora substituímos x=1:
\lim_{x\to1^-} f(x)=1^{3}-2\cdot1^{2}+1=1-2+1=0.
Explicação da técnica usada: dizer que polinômios são contínuos significa que \lim_{x\to a} p(x)=p(a) para qualquer polinômio p e qualquer a. Por isso “trocar o limite pela substituição” é permitido aqui.

Passo 4

Calcular \lim_{x\to1^+} f(x) (aproximação vindo da direita): para x>1 a expressão é \,x+2, que é também uma função simples contínua (uma reta). Logo
\lim_{x\to1^+} f(x)=\lim_{x\to1} (x+2)=1+2=3.
Novamente usei a propriedade de continuidade da função linear x+2: o limite é o valor obtido substituindo x=1.

Passo 5

Calcular o valor f(1) dado pela definição da função: como a definição diz “se x\le 1 use x^{3}-2x^{2}+1”, para x=1 devemos usar essa primeira expressão. Portanto
f(1)=1^{3}-2\cdot1^{2}+1=0.
Observação prática: é importante olhar cuidadosamente a desigualdade em cada ramo ( \le ou >) para saber qual expressão vale exatamente no ponto.

Passo 6

Concluir sobre continuidade juntando os resultados: temos
\lim_{x\to1^-} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to1^+} f(x)=3,\qquad f(1)=0.
Como os limites laterais não são iguais (o da esquerda é 0 e o da direita é 3), o limite \lim_{x\to1} f(x) não existe. Portanto não é verdade que \lim_{x\to1} f(x)=f(1). Conclusão: f não é contínua em x=1.
Pequeno reforço didático: basta um dos três números (limite esquerdo, limite direito, valor) diferir dos outros para quebrar a continuidade. Aqui o limite direito é diferente, então acabou.

Passo 7

Agora sobre diferenciabilidade em x=1. Primeiro um fato teórico importante e muito útil na prova (explicado como amigo): se uma função é diferenciável em um ponto, então ela é necessariamente contínua naquele ponto. Em símbolos: se f'(1) existe então f é contínua em 1. O motivo informal é que a diferença quociente usada na definição do derivado força a aproximação dos valores de f ao valor no ponto; tecnicamente a existência do limite do quociente implica a existência do limite da função e igualdade com o valor — mas não precisamos provar isso aqui, só usar.
Como já vimos que f não é contínua em 1, isso já é suficiente para afirmar que f não pode ser diferenciável em 1. Vou, porém, complementar mostrando também o desacordo entre as derivadas laterais (isso dá mais intuição e é útil em provas).

Passo 8

Definição prática de derivada lateral e cálculo direto pelas expressões: a derivada à esquerda em 1 é a derivada da expressão do ramo x\le1 avaliada em 1. A derivada à direita em 1 é a derivada da expressão do ramo x>1 avaliada em 1. Se essas duas derivadas laterais existirem e forem iguais, e se a função for contínua, então f é diferenciável; caso contrário, não.
Calculemos as derivadas das duas expressões (usando regras básicas: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}, a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de ax+b é a).

Passo 9

Derivada do ramo esquerdo: para x\le1 temos f(x)=x^{3}-2x^{2}+1. Derivando termo a termo:
f'_-(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)-2\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}(1)=3x^{2}-4x+0.
Agora avaliamos em x=1:
f'_-(1)=3\cdot1^{2}-4\cdot1=3-4=-1.
Expliquei cada passo: derivada de x^{3} é 3x^{2}; derivada de x^{2} é 2x, multiplicando pelo -2 -4x; a constante some.

Passo 10

Derivada do ramo direito: para x>1 temos f(x)=x+2. A derivada é
f'_+(x)=\frac{d}{dx}(x+2)=1,
que é constante para todos os x no ramo. Avaliando em x=1 (no sentido da derivada lateral direita):
f'_+(1)=1.

Passo 11

Compare as derivadas laterais: f'_-(1)=-1 e f'_+(1)=1. Como essas duas quantidades não são iguais, a derivada bilateral \lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} não existe. Além disso, como já vimos, nem sequer há continuidade em 1. Portanto f não é diferenciável em x=1.
Comentário de incentivo: deu trabalho, mas ver que a derivada lateral esquerda é -1 e a direita é 1 torna bem claro que não há como “ajustar” a função para ser diferenciável sem mudar uma das expressões. Você mandou bem ao conferir ambos os critérios (continuidade e derivadas laterais).

Resposta

(a) f não é contínua em x=1.\n(b) f não é diferenciável em x=1.

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