Questão 2 Seja
(a) Verifique se
é contínua em
.
(b) Verifique se
é diferenciável em
.
(b) Verifique se
Passo 1
O enunciado fornece a função definida por partes
e pede duas verificações em
:
(a) Verificar se
é contínua em
.
(b) Verificar se
é diferenciável em
.
As informações relevantes dadas pelo enunciado são as duas expressões da função, e o ponto de interesse
. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Definição prática de continuidade em um ponto (aula rápida, bem mastigada): uma função
é contínua em
se e somente se os três números a seguir forem iguais:
- o limite pela esquerda
, - o limite pela direita
, - o valor
.
Vou explicar o porquê: continuidade significa que, ao nos aproximarmos de
por qualquer lado, os valores de
se aproximam justamente do valor que a função toma em
. Portanto precisamos calcular os dois limites laterais e o valor da função em
.
Passo 3
Calcular
(aproximação vindo da esquerda): para
usamos a primeira expressão
. Polinômios são funções contínuas em todos os pontos, então o limite quando
é obtido apenas substituindo
.
Agora substituímos
:
Explicação da técnica usada: dizer que polinômios são contínuos significa que
para qualquer polinômio
e qualquer
. Por isso “trocar o limite pela substituição” é permitido aqui.
Passo 4
Calcular
(aproximação vindo da direita): para
a expressão é
, que é também uma função simples contínua (uma reta). Logo
Novamente usei a propriedade de continuidade da função linear
: o limite é o valor obtido substituindo
.
Passo 5
Calcular o valor
dado pela definição da função: como a definição diz “se
use
”, para
devemos usar essa primeira expressão. Portanto
Observação prática: é importante olhar cuidadosamente a desigualdade em cada ramo (
ou
) para saber qual expressão vale exatamente no ponto.
Passo 6
Concluir sobre continuidade juntando os resultados: temos
Como os limites laterais não são iguais (o da esquerda é
e o da direita é
), o limite
não existe. Portanto não é verdade que
. Conclusão:
não é contínua em
.
Pequeno reforço didático: basta um dos três números (limite esquerdo, limite direito, valor) diferir dos outros para quebrar a continuidade. Aqui o limite direito é diferente, então acabou.
Passo 7
Agora sobre diferenciabilidade em
. Primeiro um fato teórico importante e muito útil na prova (explicado como amigo): se uma função é diferenciável em um ponto, então ela é necessariamente contínua naquele ponto. Em símbolos: se
existe então
é contínua em
. O motivo informal é que a diferença quociente usada na definição do derivado força a aproximação dos valores de
ao valor no ponto; tecnicamente a existência do limite do quociente implica a existência do limite da função e igualdade com o valor — mas não precisamos provar isso aqui, só usar.
Como já vimos que
não é contínua em
, isso já é suficiente para afirmar que
não pode ser diferenciável em
. Vou, porém, complementar mostrando também o desacordo entre as derivadas laterais (isso dá mais intuição e é útil em provas).
Passo 8
Definição prática de derivada lateral e cálculo direto pelas expressões: a derivada à esquerda em
é a derivada da expressão do ramo
avaliada em
. A derivada à direita em
é a derivada da expressão do ramo
avaliada em
. Se essas duas derivadas laterais existirem e forem iguais, e se a função for contínua, então
é diferenciável; caso contrário, não.
Calculemos as derivadas das duas expressões (usando regras básicas: a derivada de
é
, a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de
é
).
Passo 9
Derivada do ramo esquerdo: para
temos
. Derivando termo a termo:
Agora avaliamos em
:
Expliquei cada passo: derivada de
é
; derivada de
é
, multiplicando pelo
dá
; a constante some.
Passo 10
Derivada do ramo direito: para
temos
. A derivada é
que é constante para todos os
no ramo. Avaliando em
(no sentido da derivada lateral direita):
Passo 11
Compare as derivadas laterais:
e
. Como essas duas quantidades não são iguais, a derivada bilateral
não existe. Além disso, como já vimos, nem sequer há continuidade em
. Portanto
não é diferenciável em
.
Comentário de incentivo: deu trabalho, mas ver que a derivada lateral esquerda é
e a direita é
torna bem claro que não há como “ajustar” a função para ser diferenciável sem mudar uma das expressões. Você mandou bem ao conferir ambos os critérios (continuidade e derivadas laterais).
Resposta
(a)
não é contínua em
.\n(b)
não é diferenciável em
.