(2,0) Calcule a integral dupla:
\iint_{R} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} d A,
onde R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} / 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral dupla
\iint_{R} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,dA,
onde R é a região do plano dada por
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2} \mid 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4\}.
Informações importantes que o enunciado dá:
\text{(i)}\quad \text{o integrando é }e^{-(x^{2}+y^{2})};é
\text{(ii)}\quad \text{a região }R\text{ é o conjunto de pontos com }1\le x^{2}+y^{2}\le 4,ãé
ou seja, um anel (uma coroa circular) entre círculos de raio 1 e 2.
A pergunta é: qual é o valor numérico da integral dupla acima sobre essa região R?

Passo 2

Por que usar coordenadas polares? Vou explicar com calma: a região R é definida por x^{2}+y^{2} entre duas constantes, e o integrando depende apenas de x^{2}+y^{2}. Em coordenadas polares retiramos vantagem dessa simetria, porque em polares
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
e então x^{2}+y^{2}=r^{2}. Além disso, o elemento de área em coordenadas polares não é simplesmente dr\,d\theta — é preciso um fator chamado jacobiano. Para entender o jacobiano de forma intuitiva: um pequeno retângulo em (r,\theta) de lados \Delta r e \Delta\theta corresponde, no plano (x,y), a uma área aproximada igual a r\,\Delta r\,\Delta\theta. Assim o diferencial de área é
dA = r\,dr\,d\theta.
Aqui r é a distância ao ponto de origem, e o fator r aparece porque arcos de círculo têm comprimento proporcional a r.

Passo 3

Agora escrevemos a integral em coordenadas polares. Substituímos x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta. Os limites para r vêm da condição 1\le r^{2}\le 4, ou seja 1\le r\le 2. O ângulo \theta percorre toda a circunferência, então \theta\in[0,2\pi]. Portanto a integral vira
\iint_{R} e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2} e^{-r^{2}}\; r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Vamos calcular a integral interna em r:
\int_{1}^{2} e^{-r^{2}}\, r\,dr.
Fazemos a substituição clássica para integrais com r\,dr: defina u=r^{2}. Então du = 2r\,dr, ou seja r\,dr = \tfrac{1}{2}\,du. Quando r=1 temos u=1; quando r=2 temos u=4. Assim
\int_{1}^{2} e^{-r^{2}}\, r\,dr = \frac{1}{2}\int_{1}^{4} e^{-u}\,du.
Essa integral é imediata: a primitiva de e^{-u} é -e^{-u}. Então
\frac{1}{2}\int_{1}^{4} e^{-u}\,du = \frac{1}{2}\big[-e^{-u}\big]_{u=1}^{u=4} = \frac{1}{2}\big(e^{-1}-e^{-4}\big).

Passo 5

Agora voltamos à integral em \theta. Temos
\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{1}{2}\big(e^{-1}-e^{-4}\big)\right)\,d\theta = \frac{1}{2}\big(e^{-1}-e^{-4}\big)\int_{0}^{2\pi} d\theta.
E \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi. Multiplicando,
\frac{1}{2}\big(e^{-1}-e^{-4}\big)\cdot 2\pi = \pi\big(e^{-1}-e^{-4}\big).

Resposta

\pi\left(e^{-1}-e^{-4}\right)

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