Calcule a integral dupla:
onde
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a integral dupla
onde
é a região do plano dada por
Informações importantes que o enunciado dá:
ou seja, um anel (uma coroa circular) entre círculos de raio
e
.
A pergunta é: qual é o valor numérico da integral dupla acima sobre essa região ?
A pergunta é: qual é o valor numérico da integral dupla acima sobre essa região
Passo 2
Por que usar coordenadas polares? Vou explicar com calma: a região
é definida por
entre duas constantes, e o integrando depende apenas de
. Em coordenadas polares retiramos vantagem dessa simetria, porque em polares
e então
. Além disso, o elemento de área em coordenadas polares não é simplesmente
— é preciso um fator chamado jacobiano. Para entender o jacobiano de forma intuitiva: um pequeno retângulo em
de lados
e
corresponde, no plano
, a uma área aproximada igual a
. Assim o diferencial de área é
Aqui
é a distância ao ponto de origem, e o fator
aparece porque arcos de círculo têm comprimento proporcional a
.
Passo 3
Agora escrevemos a integral em coordenadas polares. Substituímos
e
. Os limites para
vêm da condição
, ou seja
. O ângulo
percorre toda a circunferência, então
. Portanto a integral vira
Passo 4
Vamos calcular a integral interna em
:
Fazemos a substituição clássica para integrais com
: defina
. Então
, ou seja
. Quando
temos
; quando
temos
. Assim
Essa integral é imediata: a primitiva de
é
. Então
Passo 5
Agora voltamos à integral em
. Temos
E
. Multiplicando,