Questão 1 Determine a equação da reta tangente à curva
no ponto de abscissa
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a equação da reta tangente a essa curva no ponto de abscissa
. As informações relevantes são:
- A função explícita
. - O ponto onde queremos a tangente tem abscissa
.
O que precisamos encontrar para a reta tangente: - As coordenadas do ponto da tangente (ou seja,
). - A inclinação (coeficiente angular) da reta no ponto, que é
.
Com o pontoe a inclinação podemos escrever a reta pela fórmula ponto-inclinação:
Passo 2
Primeiro, calculo
para achar o ponto em que a tangente toca a curva. Substituo
na função:
Faço as contas do numerador passo a passo:
Logo o numerador é
E o denominador é
. Portanto
Assim o ponto da tangência é
.
Passo 3
Agora precisamos de
, a derivada da função em
. Existem duas formas comuns: aplicar a regra do quociente direto à expressão original ou primeiro simplificar a função por divisão polinomial e depois derivar a forma simplificada. Vou escolher simplificar por divisão polinomial porque deixa a derivada mais direta e evita cálculos de quociente mais pesados — é mais rápido e menos sujeito a erro na prova.
Passo 4
Faço a divisão do polinômio
por
. Usarei divisão sintética (já que o divisor é
, correspondente a raiz
) com os coeficientes
.
Realizando a divisão sintética com
:
- Trago
para baixo. - Multiplico
por e adiciono a : obtém-se . - Multiplico
por e adiciono a : obtém-se . - Multiplico
por e adiciono a : obtém-se (resto).
Então a divisão dá quociente
e resto
. Isso implica a identidade
Dividindo ambos os lados por
(para
) obtemos a forma
Portanto podemos trabalhar com
Passo 5
Vou derivar a expressão simplificada termo a termo. Antes, uma aula rápida sobre derivadas úteis aqui:
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas.
- Regra do poder: para
, temos . - Para uma função
(que é o mesmo que ), aplicamos a regra do poder ou a regra da cadeia: . Como , resulta , ou seja .
Vou aplicar essas regras agora.
Passo 6
Derivo cada termo de
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é (veja explicação no passo anterior).
Somando tudo:
Passo 7
Avalio
em
para obter a inclinação da tangente:
Calculo passo a passo:
Portanto
A inclinação da reta tangente em
é
. Isso significa que a reta é horizontal no ponto
.
Passo 8
Agora monto a equação da reta tangente usando a fórmula ponto-inclinação:
com
e
. Substituindo:
Isto simplifica para
Logo a reta tangente é a reta horizontal de equação
.