Questão 1 Determine a equação da reta tangente à curva
y=\frac{x^{3}-4 x^{2}+6 x-2}{x-1}
no ponto de abscissa x=2.

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\frac{x^{3}-4x^{2}+6x-2}{x-1}
e pede a equação da reta tangente a essa curva no ponto de abscissa x=2. As informações relevantes são:
  • A função explícita \displaystyle y=\frac{x^{3}-4x^{2}+6x-2}{x-1}.
  • O ponto onde queremos a tangente tem abscissa x=2.
    O que precisamos encontrar para a reta tangente:
  • As coordenadas do ponto da tangente (ou seja, y(2)).
  • A inclinação (coeficiente angular) da reta no ponto, que é y'(2).
    Com o ponto (x_0,y_0) e a inclinação m podemos escrever a reta pela fórmula ponto-inclinação:
y-y_0=m(x-x_0).

Passo 2

Primeiro, calculo y(2) para achar o ponto em que a tangente toca a curva. Substituo x=2 na função:
y(2)=\frac{2^{3}-4\cdot2^{2}+6\cdot2-2}{2-1}.
Faço as contas do numerador passo a passo:
2^{3}=8,\quad 4\cdot2^{2}=4\cdot4=16,\quad 6\cdot2=12.
Logo o numerador é
8-16+12-2 = (8-16) + (12-2) = -8 + 10 = 2.
E o denominador é 2-1=1. Portanto
y(2)=\frac{2}{1}=2.
Assim o ponto da tangência é (2,2).

Passo 3

Agora precisamos de y'(2), a derivada da função em x=2. Existem duas formas comuns: aplicar a regra do quociente direto à expressão original ou primeiro simplificar a função por divisão polinomial e depois derivar a forma simplificada. Vou escolher simplificar por divisão polinomial porque deixa a derivada mais direta e evita cálculos de quociente mais pesados — é mais rápido e menos sujeito a erro na prova.

Passo 4

Faço a divisão do polinômio x^{3}-4x^{2}+6x-2 por x-1. Usarei divisão sintética (já que o divisor é x-1, correspondente a raiz 1) com os coeficientes 1,\;-4,\;6,\;-2.
Realizando a divisão sintética com 1:
  • Trago 1 para baixo.
  • Multiplico 1 por 1 e adiciono a -4: obtém-se -3.
  • Multiplico -3 por 1 e adiciono a 6: obtém-se 3.
  • Multiplico 3 por 1 e adiciono a -2: obtém-se 1 (resto).
Então a divisão dá quociente x^{2}-3x+3 e resto 1. Isso implica a identidade
x^{3}-4x^{2}+6x-2 = (x-1)(x^{2}-3x+3) + 1.
Dividindo ambos os lados por x-1 (para x\neq1) obtemos a forma
\frac{x^{3}-4x^{2}+6x-2}{x-1} = x^{2}-3x+3 + \frac{1}{x-1}.
Portanto podemos trabalhar com
y(x)=x^{2}-3x+3 + \frac{1}{x-1}.

Passo 5

Vou derivar a expressão simplificada termo a termo. Antes, uma aula rápida sobre derivadas úteis aqui:
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas.
  • Regra do poder: para f(x)=x^{n}, temos f'(x)=n x^{n-1}.
  • Para uma função g(x)=(x-1)^{-1} (que é o mesmo que 1/(x-1)), aplicamos a regra do poder ou a regra da cadeia: \frac{d}{dx}(x-1)^{-1} = -1\cdot (x-1)^{-2}\cdot \frac{d}{dx}(x-1). Como \frac{d}{dx}(x-1)=1, resulta - (x-1)^{-2}, ou seja -\frac{1}{(x-1)^2}.
    Vou aplicar essas regras agora.

Passo 6

Derivo cada termo de
y(x)=x^{2}-3x+3 + \frac{1}{x-1}.
  • Derivada de x^{2} é 2x.
  • Derivada de -3x é -3.
  • Derivada de 3 é 0.
  • Derivada de \dfrac{1}{x-1} é -\dfrac{1}{(x-1)^{2}} (veja explicação no passo anterior).
Somando tudo:
y'(x)=2x-3 - \frac{1}{(x-1)^{2}}.

Passo 7

Avalio y'(x) em x=2 para obter a inclinação da tangente:
y'(2)=2\cdot 2 - 3 - \frac{1}{(2-1)^{2}}.
Calculo passo a passo:
2\cdot 2 = 4,\quad 4-3=1,\quad (2-1)^{2}=1^{2}=1,\quad \frac{1}{1}=1.
Portanto
y'(2)=1-1=0.
A inclinação da reta tangente em x=2 é m=0. Isso significa que a reta é horizontal no ponto (2,2).

Passo 8

Agora monto a equação da reta tangente usando a fórmula ponto-inclinação:
y-y_0=m(x-x_0),
com m=0 e (x_0,y_0)=(2,2). Substituindo:
y-2=0\cdot(x-2).
Isto simplifica para
y-2=0 \quad\Rightarrow\quad y=2.
Logo a reta tangente é a reta horizontal de equação y=2.

Resposta

y=2

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