Questão 7 Seja f(x)=\frac{x^{3}-3 x^{2}+4}{x-1}. Determine:
(a) os intervalos de crescimento e decrescimento;
(b) os pontos de máximo e mínimo locais.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\frac{x^{3}-3x^{2}+4}{x-1} e pede duas coisas:
(a) determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento de f;
(b) identificar os pontos de máximo e mínimo locais (se existirem).
Informações relevantes que já podemos anotar sem calcular ainda:
\text{domínio: }x\neq 1\quad(\text{pois há divisão por }x-1).íáã
Não vou resolver nada ainda — só estou deixando claro o que é pedido e o que foi dado.

Passo 2

Primeiro simplifico a função para facilitar a derivação. Faço a divisão do polinômio x^{3}-3x^{2}+4 por x-1. Usando divisão sintética com raíz 1 (coeficientes 1,-3,0,4):
trago 1, multiplico por 1 obtenho 1, somo a -3 obtenho -2, multiplico por 1 obtenho -2, somo a 0 obtenho -2, multiplico por 1 obtenho -2, somo a 4 obtenho 2 (resto).
Logo o quociente é x^{2}-2x-2 e o resto é 2. Assim
f(x)=x^{2}-2x-2+\frac{2}{x-1},\qquad x\neq 1.
Explicação curta do porquê: escrever como polinômio mais termo racional facilita aplicar regras de derivação term a term.

Passo 3

Vou calcular a derivada f'(x) derivando termo a termo. Regras usadas: derivada de x^{n} é n x^{n-1}; derivada de c é 0; derivada de \frac{2}{x-1} posso ver como 2(x-1)^{-1} e usar a regra da cadeia.
Derivando:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x,\qquad \frac{d}{dx}\big(-2x\big)=-2,\qquad \frac{d}{dx}\big(-2\big)=0,
\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x-1}\right)=2\cdot\frac{d}{dx}\big((x-1)^{-1}\big)=2\cdot(-1)(x-1)^{-2}\cdot 1=-\frac{2}{(x-1)^{2}}.
Somando tudo:
f'(x)=2x-2-\frac{2}{(x-1)^{2}}.

Passo 4

Para estudar o sinal de f' é conveniente colocar tudo em uma única fração e fatorar. Primeiro fatoro 2:
f'(x)=2\left(x-1-\frac{1}{(x-1)^{2}}\right).
Coloco no mesmo denominador (x-1)^{2}:
x-1=\frac{(x-1)^{3}}{(x-1)^{2}},
portanto
x-1-\frac{1}{(x-1)^{2}}=\frac{(x-1)^{3}-1}{(x-1)^{2}}.
Assim
f'(x)=2\cdot\frac{(x-1)^{3}-1}{(x-1)^{2}}.
Agora fatoro a diferença de cubos no numerador: a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}) com a=x-1 e b=1. Então
(x-1)^{3}-1=(x-1-1)\big((x-1)^{2}+(x-1)\cdot1+1^{2}\big)=(x-2)\big((x-1)^{2}+(x-1)+1\big).
Calculo o polinômio dentro:
(x-1)^{2}+(x-1)+1=(x^{2}-2x+1)+x-1+1=x^{2}-x+1.
Portanto a forma fatorada final é
f'(x)=2\cdot\frac{(x-2)\,(x^{2}-x+1)}{(x-1)^{2}}.

Passo 5

Agora faço a análise do sinal de f'(x). Observações importantes:
  • O denominador (x-1)^{2} é sempre positivo para todo x\neq 1.
  • O fator x^{2}-x+1 tem discriminante \Delta=(-1)^{2}-4\cdot1\cdot1=1-4=-3<0, logo x^{2}-x+1>0 para todo x\in\mathbb{R}.
    Logo a única parte que pode mudar de sinal é o fator (x-2).
    Portanto:
  • Se x>2 então (x-2)>0 e assim f'(x)>0.
  • Se x<2 (e x\neq 1) então (x-2)<0 e assim f'(x)<0.
    Lembre-se de que x=1 não pertence ao domínio, portanto devemos separar intervalos que não cruzem 1.
Concluo os intervalos de monotonicidade:
\text{\(f\) é decrescente em }(-\infty,1)\text{ e em }(1,2),é
\text{\(f\) é crescente em }(2,\infty).é

Passo 6

Determino os pontos críticos e classifico extremos locais.
Pontos críticos são onde f'(x)=0 ou onde f' não está definida (mas pertencendo ao domínio). Temos:
  • f'(x)=0 quando x-2=0, isto é em x=2.
  • f' não está definida em x=1, porém x=1 não pertence ao domínio de f, então não é ponto crítico válido para extremos locais da função (é uma assíntota vertical).
    Para classificar x=2 uso o teste do sinal da derivada: como vimos em Passo 5, f'(x)<0 para x<2 (próximo a 2 vindo da esquerda) e f'(x)>0 para x>2 (próximo a 2 vindo da direita). Assim f' troca de negativo para positivo em x=2, o que indica um mínimo local em x=2.
    Calculo o valor da função em x=2:
f(2)=\frac{2^{3}-3\cdot 2^{2}+4}{2-1}=\frac{8-12+4}{1}=0.
Logo há um mínimo local em (2,0). Não existe ponto de máximo local pois não há ponto onde a derivada muda de positivo para negativo.

Resposta

(a) f é decrescente em (-\infty,1) e em (1,2); f é crescente em (2,\infty).\n
(b) mínimo local em (2,0); não há máximos locais.

Exercícios relacionados