Questão 7 Seja
. Determine:
(a) os intervalos de crescimento e decrescimento;
(b) os pontos de máximo e mínimo locais.
(a) os intervalos de crescimento e decrescimento;
(b) os pontos de máximo e mínimo locais.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
(a) determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento de ;
(b) identificar os pontos de máximo e mínimo locais (se existirem).
Informações relevantes que já podemos anotar sem calcular ainda:
(a) determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento de
(b) identificar os pontos de máximo e mínimo locais (se existirem).
Informações relevantes que já podemos anotar sem calcular ainda:
Não vou resolver nada ainda — só estou deixando claro o que é pedido e o que foi dado.
Passo 2
Primeiro simplifico a função para facilitar a derivação. Faço a divisão do polinômio
por
. Usando divisão sintética com raíz
(coeficientes
):
trago , multiplico por
obtenho
, somo a
obtenho
, multiplico por
obtenho
, somo a
obtenho
, multiplico por
obtenho
, somo a
obtenho
(resto).
Logo o quociente é e o resto é
. Assim
trago
Logo o quociente é
Explicação curta do porquê: escrever como polinômio mais termo racional facilita aplicar regras de derivação term a term.
Passo 3
Vou calcular a derivada
derivando termo a termo. Regras usadas: derivada de
é
; derivada de
é
; derivada de
posso ver como
e usar a regra da cadeia.
Derivando:
Derivando:
Somando tudo:
Passo 4
Para estudar o sinal de
é conveniente colocar tudo em uma única fração e fatorar. Primeiro fatoro
:
Coloco no mesmo denominador
:
portanto
Assim
Agora fatoro a diferença de cubos no numerador:
com
e
. Então
Calculo o polinômio dentro:
Portanto a forma fatorada final é
Passo 5
Agora faço a análise do sinal de
. Observações importantes:
- O denominador
é sempre positivo para todo . - O fator
tem discriminante , logo para todo .
Logo a única parte que pode mudar de sinal é o fator.
Portanto: - Se
então e assim . - Se
(e ) então e assim .
Lembre-se de quenão pertence ao domínio, portanto devemos separar intervalos que não cruzem .
Concluo os intervalos de monotonicidade:
Passo 6
Determino os pontos críticos e classifico extremos locais.
Pontos críticos são onde ou onde
não está definida (mas pertencendo ao domínio). Temos:
Pontos críticos são onde
-
quando , isto é em . -
não está definida em , porém não pertence ao domínio de , então não é ponto crítico válido para extremos locais da função (é uma assíntota vertical).
Para classificaruso o teste do sinal da derivada: como vimos em Passo 5, para (próximo a vindo da esquerda) e para (próximo a vindo da direita). Assim troca de negativo para positivo em , o que indica um mínimo local em .
Calculo o valor da função em:
Logo há um mínimo local em
. Não existe ponto de máximo local pois não há ponto onde a derivada muda de positivo para negativo.
Resposta
(a)
é decrescente em
e em
;
é crescente em
.\n
(b) mínimo local em ; não há máximos locais.
(b) mínimo local em