Questão 3 Calcule f^{\prime}(x) :
f(x)=\frac{e^{x}-1}{x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada f^{\prime}(x) da função
f(x)=\frac{e^{x}-1}{x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
f(x)=\frac{e^{x}-1}{x}\quad\text{(função dada).}çã
Observação importante: a função, na forma dada, não está definida em x=0 porque o denominador seria zero; portanto vamos calcular f^{\prime}(x) para x\neq0.

Passo 2

Escolha do método: uma forma direta é usar a regra do quociente. Vou explicar essa regra antes de aplicar, passo a passo, para você entender e poder usar na prova.
Regra do quociente (explicação): se tivermos duas funções u(x) e v(x) com v(x)\neq0, e definirmos
g(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
então a derivada é dada por
g^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}(x)\,v(x)-u(x)\,v^{\prime}(x)}{[v(x)]^{2}}.
Por que essa fórmula funciona (intuição rápida): podemos escrever g(x)=u(x)\cdot [v(x)]^{-1} e aplicar a regra do produto junto com a regra da cadeia para [v(x)]^{-1}; ao fazer isso aparece exatamente o numerador u'v-uv' e o quadrado de v no denominador. Aqui cada símbolo significa:
  • u(x) é a função numerador;
  • v(x) é a função denominador;
  • u^{\prime}(x) e v^{\prime}(x) são as derivadas delas.
Agora identifiquemos u e v para a nossa função:
u(x)=e^{x}-1,\qquad v(x)=x.

Passo 3

Calcule as derivadas de u e v:
u^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{x}-1\big)=e^{x}-0=e^{x},
pois a derivada de e^{x} é e^{x} e a derivada da constante 1 é 0.
v^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(x)=1.

Passo 4

Aplique a regra do quociente substituindo u, v, u' e v':
f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}(x)\,v(x)-u(x)\,v^{\prime}(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{e^{x}\cdot x-(e^{x}-1)\cdot 1}{x^{2}}.

Passo 5

Simplifique o numerador passo a passo:
e^{x}\cdot x-(e^{x}-1)=x e^{x}-e^{x}+1.
Agora fatoramos e^{x} nos dois primeiros termos para deixar mais compacto:
x e^{x}-e^{x}+1=e^{x}(x-1)+1.
Portanto a derivada simplificada é
f^{\prime}(x)=\frac{e^{x}(x-1)+1}{x^{2}},\qquad x\neq0.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, só para fixar): outra forma seria escrever f(x)=e^{x}x^{-1}-x^{-1} e aplicar regra do produto e cadeia; isso leva ao mesmo resultado mostrado acima.

Resposta

f^{\prime}(x)=\frac{e^{x}(x-1)+1}{x^{2}}\qquad (x\neq0)

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