Questão 3 Calcule
:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada
da função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Observação importante: a função, na forma dada, não está definida em
porque o denominador seria zero; portanto vamos calcular
para
.
Passo 2
Escolha do método: uma forma direta é usar a regra do quociente. Vou explicar essa regra antes de aplicar, passo a passo, para você entender e poder usar na prova.
Regra do quociente (explicação): se tivermos duas funções
e
com
, e definirmos
então a derivada é dada por
Por que essa fórmula funciona (intuição rápida): podemos escrever
e aplicar a regra do produto junto com a regra da cadeia para
; ao fazer isso aparece exatamente o numerador
e o quadrado de
no denominador. Aqui cada símbolo significa:
-
é a função numerador; -
é a função denominador; -
e são as derivadas delas.
Agora identifiquemos
e
para a nossa função:
Passo 3
Calcule as derivadas de
e
:
pois a derivada de
é
e a derivada da constante
é
.
Passo 4
Aplique a regra do quociente substituindo
,
,
e
:
Passo 5
Simplifique o numerador passo a passo:
Agora fatoramos
nos dois primeiros termos para deixar mais compacto:
Portanto a derivada simplificada é
Passo 6
Verificação rápida (opcional, só para fixar): outra forma seria escrever
e aplicar regra do produto e cadeia; isso leva ao mesmo resultado mostrado acima.