(a) Calcule \frac{d y}{d x} implicitamente.
(b) Determine o valor de \frac{d y}{d x} no ponto (2,4).
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
x^{3}+y^{3}=9 x y
e pede duas coisas:
Calcular \dfrac{d y}{d x} implicitamente (ou seja, obter uma expressão para \dfrac{d y}{d x} em termos de x e y).
Determinar o valor de \dfrac{d y}{d x} no ponto (2,4).
Informações relevantes dadas: a relação entre x e y dada pela equação acima e o ponto (2,4) onde será avaliada a derivada.
Passo 2
O que é “derivar implicitamente”? Vou explicar numa linguagem simples: quando y é dada em função de x de forma explícita (por exemplo y=2x^2), usamos regras normais. Mas aqui x e y aparecem misturados numa equação. A ideia é: diferenciar ambos os lados da equação em relação a x, tratando y como uma função de x (ou seja, sempre que aparecer y ao derivar, aplicamos a regra da cadeia e multiplicamos por \dfrac{d y}{d x}). Exemplos rápidos de regras que vamos usar:
Derivada de x^{3} em relação a x é 3x^{2}.
Derivada de y^{3} em relação a x: aplicar regra da cadeia. Primeiro derivada externa dá 3y^{2} e depois multiplicamos pela derivada interna \dfrac{d y}{d x}. Logo a derivada é 3y^{2}\dfrac{d y}{d x}.
Derivada de um produto x\cdot y em relação a x: usar a regra do produto. A regra do produto diz que \dfrac{d}{dx}(u v)=u'\,v+u\,v'. Aplicando a x\cdot y (onde u=x e v=y(x)) obtemos 1\cdot y + x\cdot \dfrac{d y}{d x}=y+x\dfrac{d y}{d x}.
Passo 3
Agora diferenciamos ambos os lados da equação dada em relação a x. Escrevo a equação original e aplico as regras que expliquei:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}+y^{3}\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(9 x y\bigr).
Derivando termo a termo:
\dfrac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.
\dfrac{d}{dx}\bigl(y^{3}\bigr)=3y^{2}\dfrac{d y}{d x} (regra da cadeia).
\dfrac{d}{dx}\bigl(9xy\bigr)=9\cdot \dfrac{d}{dx}\bigl(xy\bigr)=9\bigl(y + x\dfrac{d y}{d x}\bigr) (constante 9 sai e usamos regra do produto).
Em seguida, reúno em um lado os termos que contêm \dfrac{d y}{d x} e no outro os termos sem ela. Subtraio 9x\dfrac{d y}{d x} e também subtraio 3x^{2} dos dois lados para agrupar:
Agora basta dividir ambos os lados por \bigl(3y^{2}-9x\bigr), desde que esse fator não seja zero (se for zero, teríamos que analisar caso a caso na prova). Assim obtemos a expressão para \dfrac{d y}{d x}:
\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{9y-3x^{2}}{3y^{2}-9x}.
Passo 6
Podemos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por 3 (isso torna mais bonito e fácil de calcular):
Pequeno comentário final de revisão (pra te animar): a técnica foi sempre a mesma — derivar ambos os lados, lembrar de multiplicar por \dfrac{d y}{d x} quando derivamos algo com y (regra da cadeia) e usar produto para xy. Na prova, faça cada passo devagar e confira sinais ao reunir os termos com \dfrac{d y}{d x}. Você conseguiu mais uma!