Questão 4 Considere a equação implícita:
x^{3}+y^{3}=9 x y .
(a) Calcule \frac{d y}{d x} implicitamente.
(b) Determine o valor de \frac{d y}{d x} no ponto (2,4).

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
x^{3}+y^{3}=9 x y
e pede duas coisas:
  1. Calcular \dfrac{d y}{d x} implicitamente (ou seja, obter uma expressão para \dfrac{d y}{d x} em termos de x e y).
  2. Determinar o valor de \dfrac{d y}{d x} no ponto (2,4).
    Informações relevantes dadas: a relação entre x e y dada pela equação acima e o ponto (2,4) onde será avaliada a derivada.

Passo 2

O que é “derivar implicitamente”? Vou explicar numa linguagem simples: quando y é dada em função de x de forma explícita (por exemplo y=2x^2), usamos regras normais. Mas aqui x e y aparecem misturados numa equação. A ideia é: diferenciar ambos os lados da equação em relação a x, tratando y como uma função de x (ou seja, sempre que aparecer y ao derivar, aplicamos a regra da cadeia e multiplicamos por \dfrac{d y}{d x}). Exemplos rápidos de regras que vamos usar:
  • Derivada de x^{3} em relação a x é 3x^{2}.
  • Derivada de y^{3} em relação a x: aplicar regra da cadeia. Primeiro derivada externa dá 3y^{2} e depois multiplicamos pela derivada interna \dfrac{d y}{d x}. Logo a derivada é 3y^{2}\dfrac{d y}{d x}.
  • Derivada de um produto x\cdot y em relação a x: usar a regra do produto. A regra do produto diz que \dfrac{d}{dx}(u v)=u'\,v+u\,v'. Aplicando a x\cdot y (onde u=x e v=y(x)) obtemos 1\cdot y + x\cdot \dfrac{d y}{d x}=y+x\dfrac{d y}{d x}.

Passo 3

Agora diferenciamos ambos os lados da equação dada em relação a x. Escrevo a equação original e aplico as regras que expliquei:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}+y^{3}\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(9 x y\bigr).
Derivando termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(y^{3}\bigr)=3y^{2}\dfrac{d y}{d x} (regra da cadeia).
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(9xy\bigr)=9\cdot \dfrac{d}{dx}\bigl(xy\bigr)=9\bigl(y + x\dfrac{d y}{d x}\bigr) (constante 9 sai e usamos regra do produto).
Substituindo essas derivadas na igualdade:
3x^{2}+3y^{2}\dfrac{d y}{d x}=9\bigl(y + x\dfrac{d y}{d x}\bigr).

Passo 4

Agora vou organizar a equação para isolar \dfrac{d y}{d x}. Primeiro distribuo o 9 no lado direito:
3x^{2}+3y^{2}\dfrac{d y}{d x}=9y+9x\dfrac{d y}{d x}.
Em seguida, reúno em um lado os termos que contêm \dfrac{d y}{d x} e no outro os termos sem ela. Subtraio 9x\dfrac{d y}{d x} e também subtraio 3x^{2} dos dois lados para agrupar:
3y^{2}\dfrac{d y}{d x}-9x\dfrac{d y}{d x}=9y-3x^{2}.

Passo 5

Fatorando \dfrac{d y}{d x} no lado esquerdo:
\bigl(3y^{2}-9x\bigr)\dfrac{d y}{d x}=9y-3x^{2}.
Agora basta dividir ambos os lados por \bigl(3y^{2}-9x\bigr), desde que esse fator não seja zero (se for zero, teríamos que analisar caso a caso na prova). Assim obtemos a expressão para \dfrac{d y}{d x}:
\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{9y-3x^{2}}{3y^{2}-9x}.

Passo 6

Podemos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por 3 (isso torna mais bonito e fácil de calcular):
\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{3(3y-x^{2})}{3(y^{2}-3x)}=\dfrac{3y-x^{2}}{y^{2}-3x}.
Essa é a forma final simplificada da derivada implícita em termos de x e y.

Passo 7

Agora avaliamos \dfrac{d y}{d x} no ponto (2,4). Substituo x=2 e y=4 na expressão simplificada:
  • Calculo do numerador: 3y-x^{2}=3\cdot4-2^{2}=12-4=8.
  • Calculo do denominador: y^{2}-3x=4^{2}-3\cdot2=16-6=10.
    Portanto
\left.\dfrac{d y}{d x}\right|_{(2,4)}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}.

Passo 8

Pequeno comentário final de revisão (pra te animar): a técnica foi sempre a mesma — derivar ambos os lados, lembrar de multiplicar por \dfrac{d y}{d x} quando derivamos algo com y (regra da cadeia) e usar produto para xy. Na prova, faça cada passo devagar e confira sinais ao reunir os termos com \dfrac{d y}{d x}. Você conseguiu mais uma!

Resposta

\displaystyle \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{3y-x^{2}}{y^{2}-3x}
\displaystyle \left.\dfrac{d y}{d x}\right|_{(2,4)}=\dfrac{4}{5}

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