Questão 1. Calcule a derivada de
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
.\n
Informações dadas:
está definida por
.\n
O que se pede: encontrar , a derivada de
em função de
.
Informações dadas:
O que se pede: encontrar
Passo 2
Observando a expressão de
vemos que é a “seno” aplicado a uma outra função
. Isso significa que temos uma composição: uma função externa aplicada a uma função interna. Para derivar uma composição usamos a regra adequada (a chamada “regra da cadeia”). Vou explicar essa regra com calma antes de aplicar ao exercício.
Passo 3
A regra da cadeia (explicação didática). Se tivermos uma função composta
, a derivada é
O que isso quer dizer, em palavras simples:
- Primeiro você deriva a função externa
, mas deixando o argumento como (ou seja, não resolve o ainda). - Depois você multiplica pelo derivado da função interna
.
Explicando as letras:é a função externa (por exemplo ), é a função interna (por exemplo ), é a derivada de em relação ao seu argumento, e é a derivada de em relação a .
Exemplo simples para fixar: se
, aqui
e
. Então
e
, logo
Viu como funciona? Deriva-se o seno (virando cosseno) mantendo o argumento, e multiplica-se pelo derivado de
.
Passo 4
Agora aplicando ao nosso problema. Identificamos:
Derivadas parciais:
porque a derivada de
em relação a
é
;
Calculemos
passo a passo:
- A derivada de
é (regra do expoente: ). - A derivada de
é (constante vezes dá a constante).
Somando:
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia:
Substituindo
e
e
:
Lembrando que
, obtemos a forma final
Esta é a derivada de
. Dica para a prova: escreva sempre primeiro qual é a função externa e qual é a interna, calcule as derivadas separadas e depois multiplique — isso evita confusão.