Questão 1. Calcule a derivada de f(x)=\sin \left(x^{2}+3 x\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função \displaystyle f(x)=\sin\bigl(x^{2}+3x\bigr).\n
Informações dadas:
\displaystyle f está definida por \displaystyle f(x)=\sin\bigl(x^{2}+3x\bigr).\n
O que se pede: encontrar \displaystyle f'(x), a derivada de \displaystyle f em função de \displaystyle x.

Passo 2

Observando a expressão de \displaystyle f(x) vemos que é a “seno” aplicado a uma outra função \displaystyle x^{2}+3x. Isso significa que temos uma composição: uma função externa aplicada a uma função interna. Para derivar uma composição usamos a regra adequada (a chamada “regra da cadeia”). Vou explicar essa regra com calma antes de aplicar ao exercício.

Passo 3

A regra da cadeia (explicação didática). Se tivermos uma função composta \displaystyle F(x)=g\bigl(h(x)\bigr), a derivada é
F'(x)=g'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).
O que isso quer dizer, em palavras simples:
  • Primeiro você deriva a função externa g, mas deixando o argumento como h(x) (ou seja, não resolve o h ainda).
  • Depois você multiplica pelo derivado da função interna h(x).
    Explicando as letras: g é a função externa (por exemplo \sin), h é a função interna (por exemplo x^2+3x), g' é a derivada de g em relação ao seu argumento, e h' é a derivada de h em relação a x.
Exemplo simples para fixar: se \displaystyle F(x)=\sin(2x), aqui g(u)=\sin u e h(x)=2x. Então g'(u)=\cos u e h'(x)=2, logo
F'(x)=\cos(2x)\cdot 2 = 2\cos(2x).
Viu como funciona? Deriva-se o seno (virando cosseno) mantendo o argumento, e multiplica-se pelo derivado de 2x.

Passo 4

Agora aplicando ao nosso problema. Identificamos:
g(u)=\sin u,\qquad h(x)=x^{2}+3x.
Derivadas parciais:
g'(u)=\cos u
porque a derivada de \sin u em relação a u é \cos u;
h'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+3x\bigr).
Calculemos h'(x) passo a passo:
  • A derivada de \displaystyle x^{2} é \displaystyle 2x (regra do expoente: \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}).
  • A derivada de \displaystyle 3x é \displaystyle 3 (constante vezes x dá a constante).
    Somando:
h'(x)=2x+3.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia:
f'(x)=g'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).
Substituindo g' e h e h':
f'(x)=\cos\bigl(h(x)\bigr)\cdot (2x+3).
Lembrando que h(x)=x^{2}+3x, obtemos a forma final
f'(x)=(2x+3)\cos\bigl(x^{2}+3x\bigr).
Esta é a derivada de \displaystyle f. Dica para a prova: escreva sempre primeiro qual é a função externa e qual é a interna, calcule as derivadas separadas e depois multiplique — isso evita confusão.

Resposta

(2x+3)\cos\bigl(x^{2}+3x\bigr)

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